1973 AMC 12 第 30 题

Question

设

[t]

表示不超过

t

的最大整数，其中

t\ge0

，并且

\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t] \end{aligned}\text{。}

则有

Let

[t]

denote the greatest integer not exceeding

t,

where

t\ge0,

and

\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned}

Then we have

对任意

t

，点

(0,0)

都不属于

S

the point

(0,0)

does not belong to

S

for any

t

对所有

t

，都有

0\le\operatorname{Area} S\le\pi

0\le\operatorname{Area} S\le\pi

for all

t

对所有

t\ge5

，

S

都包含在第一象限内

S

is contained in the first quadrant for all

t\ge5

对任意

t

，

S

的圆心都在直线

y=x

上

the center of

S

for any

t

is on the line

y=x

其他叙述都不正确

none of the other statements is true

答案：B

知识点：取整函数圆面积坐标几何

难度评级：1720

小提示：

看出

T=t-[t]

是

t

的小数部分

Recognize

T=t-[t]

as the fractional part of

t

大提示：

将

S

的方程解释为一个圆盘，并确定其圆心与半径

Interpret the equation for

S

as a disk and identify its center and radius

解答：

小数部分满足

0\le T\lt1

。集合

S

是以

(T,0)

为圆心、

T

为半径的闭圆盘。其面积为

\pi T^2\text{，}

所以

0\le\operatorname{Area}S\lt\pi

，从而特别有

0\le\operatorname{Area}S\le\pi

。原点位于每个这样的圆盘上；当

T\gt0

时，圆盘延伸到

x

轴下方；而它的圆心一般不在

y=x

上。

所以正确答案是 B。

The fractional part satisfies

0\le T\lt1.

The set

S

is the closed disk centered at

(T,0)

with radius

T.

Its area is

\pi T^2,

so

0\le\operatorname{Area}S\lt\pi,

which in particular gives

0\le\operatorname{Area}S\le\pi.

The origin lies on every such disk, the disk extends below the

x

-axis when

T\gt0,

and its center is generally not on

y=x.

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题