1998 AMC 12 第 30 题

Question

对每个正整数

n

，定义

a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}\text{。}

设

k

是使

a_k

最右端非零数字为奇数的最小正整数。

a_k

最右端的非零数字为

For each positive integer

n,

let

a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.

Let

k

denote the smallest positive integer for which the rightmost nonzero digit of

a_k

is odd. The rightmost nonzero digit of

a_k

is

1

3

5

7

9

答案：E

知识点：prime valuations trailing digits 模运算

难度评级：2630

小提示：

把

a_n=n(n+1)\cdots(n+9)

写成连乘式，并比较其中因数

2

和

5

的个数

Write

a_n=n(n+1)\cdots(n+9)

and compare its powers of

2

and

5

大提示：

当十项数块中包含

5^7

时，最右端非零数字才第一次可能为奇数

An odd rightmost nonzero digit first becomes possible when the ten-term block contains

5^7

解答：

任意十个连续整数中的五个偶数至少贡献

2^8

。所以只有当数块至少含八个因数

5

时，最右端非零数字才可能为奇数；第一次可能出现这种情形，是数块包含

5^7=78125

时。对于

n=5^7-9

，数块中

v_2=9

、

v_5=8

，所以该数字仍为偶数。对于

n=5^7-8=78117

，两个指数都为

8

。约去

2^8 5^8

，再将剩余奇数的个位数字相乘，得到

\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10} \end{aligned}\text{。}

因此第一个为奇数的最右端非零数字是

9

，正确答案是 E。

The five even terms in any ten consecutive integers contribute at least

2^8.

Thus the rightmost nonzero digit can be odd only when the block contains at least eight factors of

5,

first possible when it contains

5^7=78125.

For

n=5^7-9,

the block has

v_2=9

and

v_5=8,

so the digit remains even. For

n=5^7-8=78117,

both valuations are

8.

Cancelling

2^8 5^8

and multiplying the remaining odd unit digits gives

\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}

Hence the first odd rightmost nonzero digit is

9,

and E is correct.

1998 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2630

小提示：

大提示：

解答：

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