1996 AMC 12 第 30 题

Question

一个内接于圆的六边形有连续三条边的长度均为

3

，另有连续三条边的长度均为

5

。一条弦把六边形分成两个梯形，其中一个梯形有三条长度均为

3

的边，另一个有三条长度均为

5

的边。该弦长等于

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质正整数。求

m+n

。

A hexagon inscribed in a circle has three consecutive sides each of length

3

and three consecutive sides each of length

5.

The chord of the circle that divides the hexagon into two trapezoids, one with three sides each of length

3

and the other with three sides each of length

5,

has length equal to

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m+n.

309

349

369

389

409

答案：E

知识点：cyclic polygons 三角学 triple-angle identities

难度评级：2330

小提示：

设

\alpha

和

\beta

分别为长度

3

和

5

的边所对圆心角的一半

Let

\alpha

and

\beta

be the half-central angles subtended by sides

3

and

5

大提示：

利用

\alpha+\beta=60^\circ

和弦长之比求

\sin^2\alpha

，再应用

\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

Use

\alpha+\beta=60^\circ

and the chord ratio to find

\sin^2\alpha

, then apply

\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

解答：

设圆的半径为

R

，并设

\alpha,\beta

分别为长度

3,5

的边所对半圆心角。则

3=2R\sin\alpha

、

5=2R\sin\beta

，且

\alpha+\beta=60^\circ

。因此

\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}

=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12

，所以

\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13}

，且

\sin^2\alpha=\frac{27}{196}

。分割弦跨过连续三条长度为

3

的边，所以

\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}

。因此

L=\frac{360}{49}

，所以

m+n=409

。正确答案是 E。

Let the circle have radius

R,

and let

\alpha,\beta

be the half-central angles for the sides

3,5.

Then

3=2R\sin\alpha,

5=2R\sin\beta,

and

\alpha+\beta=60^\circ.

Thus

\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}

=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12,

so

\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13}

and

\sin^2\alpha=\frac{27}{196}.

The dividing chord spans the three consecutive sides of length

3,

so

\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}.

Therefore

L=\frac{360}{49},

so

m+n=409.

The correct answer is E.

1996 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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