1991 AMC 12 第 30 题

Question

对任意集合

S

，用

|S|

表示

S

的元素个数，用

n(S)

表示

S

的子集个数，其中包括空集和

S

本身。若集合

A

、

B

和

C

满足

\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100 \end{gathered}\text{，}

则

|A\cap B\cap C|

的最小可能值是多少？

For any set

S,

let

|S|

denote the number of elements in

S,

and let

n(S)

be the number of subsets of

S,

including the empty set and the set

S

itself. If

A,

B,

and

C

are sets for which

\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}

then what is the minimum possible value of

|A\cap B\cap C|?

96

97

98

99

100

答案：B

知识点：set cardinality 子集 powers of two extremal counting

难度评级：2430

小提示：

使用

n(S)=2^{|S|}

，并求出

|C|

和

|A\cup B\cup C|

Use

n(S)=2^{|S|}

and determine

|C|

and

|A\cup B\cup C|

大提示：

在并集中，数一数

A

、

B

和

C

各自可以缺少多少个元素

Within the union, count how many elements each of

A,

B,

and

C

can omit

解答：

令

c=|C|

，

u=|A\cup B\cup C|

。由于

n(S)=2^{|S|}

，方程变为

2^{101}+2^c=2^u

。两个加数必须相等，所以

c=101

，

u=102

。在并集中，

A

、

B

和

C

分别缺少

2

、

2

和

1

个元素。因此，三重交集中最多缺少五个不同的元素，从而

|A\cap B\cap C|\ge97

。令这些缺少的元素彼此不同即可取到等号。

因此正确答案为 B。

Let

c=|C|

and

u=|A\cup B\cup C|.

Since

n(S)=2^{|S|},

the equation becomes

2^{101}+2^c=2^u.

The two summands must be equal, so

c=101

and

u=102.

Within the union,

A,

B,

and

C

omit

2,

2,

and

1

elements. Thus at most five distinct elements are absent from the triple intersection, giving

|A\cap B\cap C|\ge97.

Equality is attained by making those omissions distinct.

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2430

小提示：

大提示：

解答：

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