1976 AMC 12 第 21 题

Question

使乘积

2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}

大于

1000

的最小正奇数

n

是多少？（在这个乘积中，各指数的分母均为七，分子是从

1

到

2n+1

的连续奇数。）

What is the smallest positive odd integer

n

such that the product

2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}

is greater than

1000?

(In the product the denominators of the exponents are all sevens, and the numerators are the successive odd integers from

1

to

2n+1.

)

7

9

11

17

19

答案：B

知识点：指数前n个奇数之和不等式

难度评级：1870

小提示：

把各幂合并，即把奇数分子相加

Combine the powers by summing the odd numerators

大提示：

奇数和

1+3+\cdots+(2n+1)

等于

(n+1)^2

，将它与

2^{10}=1024

比较

The odd-number sum

1+3+\cdots+(2n+1)

equals

(n+1)^2;

compare with

2^{10}=1024

解答：

这个乘积为

2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}\text{。}

当

n=7

时，指数

\frac{64}{7}

小于

\frac{19}{2}

，所以乘积小于

2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000

。所有更小的正奇数

n

也都不满足。当

n=9

时，指数为

\frac{100}{7}\gt10

，所以乘积大于

2^{10}=1024

。因此第一个符合条件的奇数

n

是

9

。

所以正确答案是 B。

The product is

2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.

For

n=7,

the exponent

\frac{64}{7}

is less than

\frac{19}{2},

so the product is less than

2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.

All smaller positive odd

n

also fail. For

n=9,

the exponent is

\frac{100}{7}\gt10,

so the product exceeds

2^{10}=1024.

Thus the first allowable odd

n

is

9.

Therefore, the correct answer is B.

1976 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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