1976 AMC 12 Problema 21

Question

¿Cuál es el menor entero positivo impar

n

tal que el producto

2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}

es mayor que

1000

? (En el producto, los denominadores de los exponentes son todos iguales a siete y los numeradores son los enteros impares consecutivos desde

1

hasta

2n+1.

)

What is the smallest positive odd integer

n

such that the product

2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}

is greater than

1000?

(In the product the denominators of the exponents are all sevens, and the numerators are the successive odd integers from

1

to

2n+1.

)

7

9

11

17

19

Respuesta: B

Conceptos:exponente suma de los primeros n números impares desigualdad

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Combina las potencias sumando los numeradores impares

Combine the powers by summing the odd numerators

Pista grande:

La suma de impares

1+3+\cdots+(2n+1)

es

(n+1)^2;

compárala con

2^{10}=1024

The odd-number sum

1+3+\cdots+(2n+1)

equals

(n+1)^2;

compare with

2^{10}=1024

Solución:

El producto es

2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.

Para

n=7,

el exponente

\frac{64}{7}

es menor que

\frac{19}{2},

así que el producto es menor que

2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.

Todos los enteros positivos impares

n

menores también fallan. Para

n=9,

el exponente es

\frac{100}{7}\gt10,

así que el producto supera a

2^{10}=1024.

Por tanto, el primer

n

impar permitido es

9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product is

2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.

For

n=7,

the exponent

\frac{64}{7}

is less than

\frac{19}{2},

so the product is less than

2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.

All smaller positive odd

n

also fail. For

n=9,

the exponent is

\frac{100}{7}\gt10,

so the product exceeds

2^{10}=1024.

Thus the first allowable odd

n

is

9.

Therefore, the correct answer is B.