In English En español

1976 AMC 12 第 24 题

先试着解答 1976 AMC 12 第 24 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1976 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

在所附图中，圆

K

的直径为

AB

；圆

L

与圆

K

相切，并在圆

K

的圆心处与

AB

相切；圆

M

与圆

K

、圆

L

和

AB

都相切。圆

K

与圆

M

的面积之比为

In the adjoining figure, circle

K

has diameter

AB;

circle

L

is tangent to circle

K

and to

AB

at the center of circle

K;

and circle

M

is tangent to circle

K,

to circle

L

and to

AB.

The ratio of the area of circle

K

to the area of circle

M

is

12

14

16

18

不是整数

not an integer

答案：C

知识点：相切圆勾股定理面积比

难度评级：2200

小提示：

把圆

K

的半径缩放为

2

，则圆

L

的半径为

1

Scale the radius of

K

to

2,

so circle

L

has radius

1

大提示：

若圆

M

的半径为

t

、圆心为

(x,t)

，利用它与两个较大圆的相切关系

If

M

has radius

t

and center

(x,t),

use its tangencies to both larger circles

解答：

令圆

K

的圆心为

(0,0)

、半径为

2

，并令

AB

为

x

轴。则圆

L

的圆心为

(0,1)

、半径为

1

。若圆

M

的圆心为

(x,t)

、半径为

t

，它与圆

K

内切并与圆

L

外切，故

\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2 \end{aligned}\text{。}

两式分别化为

x^2=4-4t

和

x^2=4t

，所以

t=\frac12

。半径之比为

2:\frac{1}{2}=4:1

，因此面积之比为

16

。

所以正确答案是 C。

Take

K

to have center

(0,0)

and radius

2,

with

AB

the

x

-axis. Then

L

has center

(0,1)

and radius

1.

If

M

has center

(x,t)

and radius

t,

internal tangency to

K

and external tangency to

L

give

\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2. \end{aligned}

These simplify to

x^2=4-4t

and

x^2=4t,

so

t=\frac12.

The radius ratio is

2:\frac{1}{2}=4:1,

hence the area ratio is

16.

Therefore, the correct answer is C.

其他年份的第 24 题