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1977 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

若

\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32) \end{aligned}\text{，}

则

If

\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}

then

4\lt y\lt5

y=5

5\lt y\lt6

y=6

6\lt y\lt7

答案：B

知识点：对数裂项相消

难度评级：1860

小提示：

将每个对数都换成同一底数

Rewrite every logarithm using the same base

大提示：

乘积中相邻的分子与分母会约去

Adjacent numerators and denominators cancel in the product

解答：

由换底公式，

\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 B。

By change of base,

\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

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