1978 AMC 12 第 25 题

Question

设

a

为正数。令集合

S

由所有直角坐标

(x,y)

满足下列全部条件的点组成：

\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x\text{。} \end{aligned}

集合

S

的边界是一个有

Let

a

be a positive number. Consider the set

S

of all points whose rectangular coordinates

(x,y)

satisfy all of the following conditions:

\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x. \end{aligned}

The boundary of set

S

is a polygon with

3

条边的多边形

3

sides

4

条边的多边形

4

sides

5

条边的多边形

5

sides

6

条边的多边形

6

sides

7

条边的多边形

7

sides

答案：D

知识点：坐标几何不等式

难度评级：2100

小提示：

从条件

\text{(i)}

和

\text{(ii)}

所描述的正方形开始

Begin with the square described by conditions

\text{(i)}

and

\text{(ii)}

大提示：

判断哪个条件是多余的，以及哪两个条件切去了相对的两个角

Determine which condition is redundant and which two cut off opposite corners

解答：

前两个条件构成正方形

[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a]

。在这个正方形内，

x+y\ge a

自动成立。最后两个条件等价于

|x-y|\le a

；它们的边界直线切去顶点

(2a,\frac{a}{2})

和

(\frac{a}{2},2a)

。从正方形切去相对的两个角会得到六边形，所以边界有六条边。

因此，正确答案是 D。

The first two conditions form the square

[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a].

Within this square,

x+y\ge a

is automatic. The last two conditions are equivalent to

|x-y|\le a;

their boundary lines cut off the corners

(2a,\frac{a}{2})

and

(\frac{a}{2},2a).

Cutting two opposite corners from a square produces a hexagon, so the boundary has six sides.

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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