1980 AMC 12 第 19 题

Question

设

C_1

、

C_2

、

C_3

是圆心同侧的三条平行弦。

C_1

与

C_2

之间的距离等于

C_2

与

C_3

之间的距离。三条弦的长度分别为

20

、

16

和

8

。该圆的半径是

Let

C_1,

C_2,

and

C_3

be three parallel chords of a circle on the same side of the center. The distance between

C_1

and

C_2

is the same as the distance between

C_2

and

C_3.

The lengths of the chords are

20,

16,

and

8.

The radius of the circle is

12

4\sqrt7

\frac{5\sqrt{65}}3

\frac{5\sqrt{22}}2

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：D

知识点：弦勾股定理方程组

难度评级：2100

小提示：

从圆心向弦作垂线，该垂线平分弦

A perpendicular from the center bisects each chord

大提示：

设最近的弦到圆心的距离为

u

，相邻弦之间的共同间距为

v

Let the nearest chord be distance

u

from the center and the common spacing be

v

解答：

设半径为

r

，长为

20

的弦到圆心的距离为

u

，相邻弦之间的共同间距为

v

。则

\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2 \end{aligned}\text{。}

相邻两式依次相减，得到

2uv+v^2=36

和

2uv+3v^2=48

，所以

v^2=6

，且

u=\frac{15}{\sqrt6}

。因此

r^2=u^2+100=\frac{275}{2}\text{，}

从而

r=\frac{5\sqrt{22}}{2}

。

因此，正确答案是 D。

Let

r

be the radius,

u

the distance to the

20

-unit chord, and

v

the common spacing. Then

\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}

Consecutive subtraction gives

2uv+v^2=36

and

2uv+3v^2=48,

so

v^2=6

and

u=\frac{15}{\sqrt6}.

Hence

r^2=u^2+100=\frac{275}{2},

and

r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.

Therefore, the correct answer is D.

1980 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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