1980 AMC 12 Problema 19

Question

Sean

C_1,

C_2,

y

C_3

tres cuerdas paralelas de un círculo situadas al mismo lado del centro. La distancia entre

C_1

y

C_2

es igual a la distancia entre

C_2

y

C_3.

Las longitudes de las cuerdas son

20,

16,

y

8.

El radio del círculo es

Let

C_1,

C_2,

and

C_3

be three parallel chords of a circle on the same side of the center. The distance between

C_1

and

C_2

is the same as the distance between

C_2

and

C_3.

The lengths of the chords are

20,

16,

and

8.

The radius of the circle is

12

4\sqrt7

\frac{5\sqrt{65}}3

\frac{5\sqrt{22}}2

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: D

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Una perpendicular desde el centro biseca cada cuerda

A perpendicular from the center bisects each chord

Pista grande:

Sea

u

la distancia desde el centro hasta la cuerda más cercana y

v

el espaciamiento común

Let the nearest chord be distance

u

from the center and the common spacing be

v

Solución:

Sean

r

el radio,

u

la distancia a la cuerda de longitud

20

y

v

el espaciamiento común. Entonces

\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}

Las restas consecutivas dan

2uv+v^2=36

y

2uv+3v^2=48,

de modo que

v^2=6

y

u=\frac{15}{\sqrt6}.

Por lo tanto,

r^2=u^2+100=\frac{275}{2},

y

r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

r

be the radius,

u

the distance to the

20

-unit chord, and

v

the common spacing. Then

\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}

Consecutive subtraction gives

2uv+v^2=36

and

2uv+3v^2=48,

so

v^2=6

and

u=\frac{15}{\sqrt6}.

Hence

r^2=u^2+100=\frac{275}{2},

and

r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.

Therefore, the correct answer is D.