1980 AMC 12 第 21 题

Question

在三角形

ABC

中，

\angle CBA=72^\circ

，

E

是边

AC

的中点，

D

是边

BC

上的一点且满足

2BD=DC

；

AD

与

BE

交于

F

。

\triangle BDF

的面积与四边形

FDCE

的面积之比为

In triangle

ABC,

\angle CBA=72^\circ,

E

is the midpoint of side

AC,

and

D

is a point on side

BC

such that

2BD=DC;

AD

and

BE

intersect at

F.

The ratio of the area of

\triangle BDF

to the area of quadrilateral

FDCE

is

\frac15

\frac14

\frac13

\frac25

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：面积比中点比与比例

难度评级：2040

小提示：

仿射变换不改变面积比，因此可以选用方便的坐标

Area ratios are unchanged by an affine transformation, so convenient coordinates may be used

大提示：

先求比

AF:FD

，再将两个小三角形与

\triangle ABC

比较

Find the ratio

AF:FD

, then compare the small triangles with

\triangle ABC

解答：

把

\triangle ABC

的总面积定为

1

。因为

BD:DC=1:2

，所以

[ABD]=\frac{1}{3}

，且

[ACD]=\frac{2}{3}

。中点和三等分条件给出

AF:FD=3:1

。因此

[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}\text{。}

此外，

\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14 \end{aligned}\text{。}

所以

[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}

，所求比为

\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}

。

因此，正确答案是 A。

Scale the total area of

\triangle ABC

to

1.

Since

BD:DC=1:2,

we have

[ABD]=\frac{1}{3}

and

[ACD]=\frac{2}{3}.

The midpoint and trisection conditions give

AF:FD=3:1.

Hence

[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.

Also

\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}

Therefore

[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},

and the requested ratio is

\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 第 21 题

答案：A

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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