1980 AMC 12 Problema 21

Question

En el triángulo

ABC,

\angle CBA=72^\circ,

E

es el punto medio del lado

AC,

y

D

es un punto del lado

BC

tal que

2BD=DC;

AD

y

BE

se cortan en

F.

La razón entre el área de

\triangle BDF

y el área del cuadrilátero

FDCE

es

In triangle

ABC,

\angle CBA=72^\circ,

E

is the midpoint of side

AC,

and

D

is a point on side

BC

such that

2BD=DC;

AD

and

BE

intersect at

F.

The ratio of the area of

\triangle BDF

to the area of quadrilateral

FDCE

is

\frac15

\frac14

\frac13

\frac25

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas punto medio razón y proporción

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Las razones de áreas no cambian bajo una transformación afín, así que puedes usar coordenadas convenientes

Area ratios are unchanged by an affine transformation, so convenient coordinates may be used

Pista grande:

Halla la razón

AF:FD

y luego compara los triángulos pequeños con

\triangle ABC

Find the ratio

AF:FD

, then compare the small triangles with

\triangle ABC

Solución:

Escala el área total de

\triangle ABC

a

1.

Como

BD:DC=1:2,

tenemos

[ABD]=\frac{1}{3}

y

[ACD]=\frac{2}{3}.

Las condiciones de punto medio y trisección dan

AF:FD=3:1.

Por lo tanto,

[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.

Además,

\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}

Así,

[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},

y la razón pedida es

\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Scale the total area of

\triangle ABC

to

1.

Since

BD:DC=1:2,

we have

[ABD]=\frac{1}{3}

and

[ACD]=\frac{2}{3}.

The midpoint and trisection conditions give

AF:FD=3:1.

Hence

[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.

Also

\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}

Therefore

[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},

and the requested ratio is

\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.

Therefore, the correct answer is A.