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1980 AMC 12 第 27 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

27.

下式

\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}

等于

The sum

\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}

equals

\frac32

\frac{\sqrt[3]{65}}4

\frac{1+\sqrt[6]{13}}2

\sqrt[3]2

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：根式立方和与立方差代数变形

难度评级：2200

小提示：

把两个立方根分别记为

u

和

v

，并计算

uv

Call the two cube roots

u

and

v

, and compute

uv

大提示：

利用

(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)

Use

(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)

解答：

设两个实立方根分别为

u

和

v

。则

\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10 \end{aligned}\text{。}

若

t=u+v

，则

t^3=10-9t

，所以

\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0 \end{gathered}\text{。}

唯一的实数解是

t=1

，但它不在选项中。

因此，正确答案是 E。

Let the two real cube roots be

u

and

v.

Then

\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}

If

t=u+v,

then

t^3=10-9t,

so

\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}

The only real solution is

t=1,

which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.