1957 AMC 12 第 27 题

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27.

方程 x2+px+q=0x^2+px+q=0 各根的倒数之和为:
The sum of the reciprocals of the roots of the equation x2+px+q=0x^2+px+q=0 is:
−pq-\dfrac pq
qp\dfrac qp
pq\dfrac pq
−qp-\dfrac qp
pqpq
答案:A
知识点:韦达定理分式方程
小提示:
设两根为 rr 与 ss,并合并 1r+1s\frac{1}{r}+\frac{1}{s}
Call the roots rr and ss, and combine 1r+1s\frac{1}{r}+\frac{1}{s}
大提示:
使用 r+s=−pr+s=-p 与 rs=qrs=q
Use r+s=−pr+s=-p and rs=qrs=q
解答:
若两根为 r,sr,s,则由韦达定理可得 r+s=−pr+s=-p 与 rs=qrs=q。因此 1r+1s=r+srs=−pq。 \frac1r+\frac1s=\frac{r+s}{rs}=-\frac pq\text{。}
因此,正确答案是 A。
If the roots are r,s,r,s, then Vieta’s formulas give r+s=−pr+s=-p and rs=q.rs=q. Therefore 1r+1s=r+srs=−pq. \frac1r+\frac1s=\frac{r+s}{rs}=-\frac pq.
Thus, the correct answer is A.
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