1985 AMC 12 第 27 题

Question

考虑数列

x_1

、

x_2

、

x_3

、

\ldots

，其定义为

\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}\text{。} \end{aligned}

一般地，

x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}

其中

n\gt1

。求最小的

n

，使

x_n

为整数。

Consider a sequence

x_1,

x_2,

x_3,

\ldots,

defined by

\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}

and in general

x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}

for

n\gt1.

What is the smallest value of

n

for which

x_n

is an integer?

2

3

4

9

27

答案：C

知识点：指数不等式根式递推

难度评级：2380

小提示：

令

c=\sqrt[3]{3}

，并追踪

3

的指数

Let

c=\sqrt[3]{3}

and track the exponent of

3

大提示：

证明

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}

，再检查前四项

Show that

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}

and examine the first four terms

解答：

令

c=\sqrt[3]{3}

。反复应用递推式得到

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}\text{，}

所以

x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3

。还需排除前三项。该数列严格递增。又因为

c\lt\frac{3}{2}

，

x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2\text{。}

最后，

x_3=3^{\frac{1}{c}}

。由于

2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3

，有

x_3\gt2

；而

\frac{1}{c}\lt1

给出

x_3\lt3

。所以

x_1,x_2,x_3

都不是整数，第一项整数是

x_4

。

因此正确答案是 C。

Let

c=\sqrt[3]{3}.

Repeated application of the recurrence gives

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}},

so

x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3.

It remains to rule out the first three terms. The sequence is strictly increasing. Also

c\lt\frac{3}{2},

so

x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2.

Finally

x_3=3^{\frac{1}{c}}.

Since

2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3,

we have

x_3\gt2,

while

\frac{1}{c}\lt1

gives

x_3\lt3.

Thus

x_1,x_2,x_3

are not integers, and the first integral term is

x_4.

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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