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1981 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

若常数

\theta

满足

0\lt\theta\lt\pi

，且

x+\frac1x=2\cos\theta

，则对每个正整数

n

，

x^n+\frac1{x^n}

等于

If

\theta

is a constant such that

0\lt\theta\lt\pi

and

x+\frac1x=2\cos\theta,

then for each positive integer

n,

x^n+\frac1{x^n}

equals

2\cos\theta

2^n\cos\theta

2\cos^n\theta

2\cos n\theta

2^n\cos^n\theta

答案：D

知识点：复数棣莫弗定理三角恒等式

难度评级：1940

小提示：

将已知条件改写为关于

x

的二次方程

Rewrite the condition as a quadratic equation in

x

大提示：

它的两个根为

\cos\theta\pm i\sin\theta

Its two roots are

\cos\theta\pm i\sin\theta

解答：

方程为

x^2-2x\cos\theta+1=0

，其根为

e^{i\theta}

和

e^{-i\theta}

。因此

x=e^{\pm i\theta}

，且

x^{-1}=e^{\mp i\theta}

。由棣莫弗定理，

\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

The equation is

x^2-2x\cos\theta+1=0,

whose roots are

e^{i\theta}

and

e^{-i\theta}.

Thus

x=e^{\pm i\theta}

and

x^{-1}=e^{\mp i\theta}.

By De Moivre’s theorem,

\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

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