1982 AMC 12 Problema 24

Question

En la figura adjunta, el círculo corta los lados de un triángulo equilátero en seis puntos. Si

AG=2,

GF=13,

FC=1

y

HJ=7,

entonces

DE

es igual a

In the adjoining figure, the circle meets the sides of an equilateral triangle at six points. If

AG=2,

GF=13,

FC=1

and

HJ=7,

then

DE

equals

2\sqrt{22}

7\sqrt3

9

10

13

Respuesta: A

Conceptos:potencia de un punto círculo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Los tres lados del triángulo tienen longitud

16

All three sides of the triangle have length

16

Pista grande:

Aplica la potencia de un punto desde

A,

B,

y

C

para relacionar los dos segmentos de la base con

DE

Apply power of a point from

A,

B,

and

C

to relate the two base segments and

DE

Solución:

Primero, la potencia de

A

da

AH(AH+7)=AG\cdot AF.

Este último producto es

2\cdot15=30,

así que

AH=3,

BJ=6,

y

BH=13.

Sean

BD=u,

DE=x,

EC=v.

A partir de las secantes desde

B

y

C,

\begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14. \end{aligned}

Además,

u+x+v=16.

Al restar las ecuaciones de potencia y usar la suma se obtiene

u-v=4.

Por tanto,

u=10-\frac{x}{2}

y

v=6-\frac{x}{2}.

Sustituir en

v(v+x)=14

da

x^2=88,

así que

DE=2\sqrt{22}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

First, power of

A

gives

AH(AH+7)=AG\cdot AF.

The latter product is

2\cdot15=30,

so

AH=3,

BJ=6,

and

BH=13.

Let

BD=u,

DE=x,

EC=v.

From the secants at

B

and

C,

\begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14. \end{aligned}

Also

u+x+v=16.

Subtracting the power equations and using the sum gives

u-v=4.

Hence

u=10-\frac{x}{2}

and

v=6-\frac{x}{2}.

Substitution into

v(v+x)=14