1983 AMC 12 第 19 题

Question

点

D

位于三角形

ABC

的边

CB

上。若

\angle CAD=\angle DAB=60^\circ

、

AC=3

、

AB=6

，则

AD

的长度为

Point

D

is on side

CB

of triangle

ABC.

If

\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,

AC=3

and

AB=6,

then the length of

AD

is

2

2.5

3

3.5

4

答案：A

知识点：角平分线定理余弦定理代数变形

难度评级：2150

小提示：

角平分线定理给出

\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}

The angle bisector theorem gives

\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}

大提示：

令

CD=t

、

DB=2t

、

AD=d

；再对两个三角形应用余弦定理

Set

CD=t,

DB=2t,

and

AD=d;

then apply the law of cosines to the two triangles

解答：

由角平分线定理，可令

CD=t

、

DB=2t

。再令

AD=d

。三角形

ACD

与

ABD

在

A

处的角均为

60^\circ

，对它们应用余弦定理，得到

\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d \end{aligned}\text{。}

用第二个方程减去第一个方程的四倍，得到

0=-3d^2+6d

。由于

d\gt0

，所以

d=2

。

所以正确答案是 A。

By the angle bisector theorem, write

CD=t

and

DB=2t.

Let

AD=d.

The law of cosines in triangles

ACD

and

ABD,

whose angles at

A

are both

60^\circ,

gives

\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d. \end{aligned}

Subtracting four times the first equation from the second yields

0=-3d^2+6d.

Since

d\gt0,

d=2.

Therefore, the correct answer is A.

1983 AMC 12 第 19 题

答案：A

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题