1983 AMC 12 Problema 19

Question

El punto

D

está en el lado

CB

del triángulo

ABC.

Si

\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,

AC=3

y

AB=6,

entonces la longitud de

AD

es

Point

D

is on side

CB

of triangle

ABC.

If

\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,

AC=3

and

AB=6,

then the length of

AD

is

2

2.5

3

3.5

4

Respuesta: A

Conceptos:teorema de la bisectriz ley de los cosenos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

El teorema de la bisectriz da

\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}

The angle bisector theorem gives

\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}

Pista grande:

Sean

CD=t,

DB=2t,

y

AD=d;

luego aplica la ley de los cosenos a los dos triángulos

Set

CD=t,

DB=2t,

and

AD=d;

then apply the law of cosines to the two triangles

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, escribimos

CD=t

y

DB=2t.

Sea

AD=d.

La ley de los cosenos en los triángulos

ACD

y

ABD,

cuyos ángulos en

A

son ambos

60^\circ,

da

\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d. \end{aligned}

Al restar cuatro veces la primera ecuación de la segunda se obtiene

0=-3d^2+6d.

Como

d\gt0,

d=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By the angle bisector theorem, write

CD=t

and

DB=2t.

Let

AD=d.

The law of cosines in triangles

ACD

and

ABD,

whose angles at

A

are both

60^\circ,

gives

\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d. \end{aligned}

Subtracting four times the first equation from the second yields

0=-3d^2+6d.

Since

d\gt0,

d=2.

Therefore, the correct answer is A.