1985 AMC 12 第 12 题

Question

设

p

、

q

、

r

为互不相同的素数，其中

1

不视为素数。以下哪一个是以

n=pq^2r^4

为因数的最小正完全立方数？

Let

p,

q

and

r

be distinct prime numbers, where

1

is not considered a prime. Which of the following is the smallest positive perfect cube having

n=pq^2r^4

as a divisor?

p^8q^8r^8

(pq^2r^2)^3

(p^2q^2r^2)^3

(pqr^2)^3

4p^3q^3r^3

答案：D

知识点：整除性完全幂质因数分解

难度评级：1660

小提示：

完全立方数中每个素因子的指数都是

3

的倍数

Every prime exponent in a perfect cube is a multiple of

3

大提示：

将指数

1

、

2

、

4

分别增大到不小于它们的最小

3

的倍数

Raise the exponents

1,

2,

and

4

to the least larger multiples of

3

解答：

完全立方数的素因子指数都能被

3

整除。不小于

1

、

2

、

4

的最小

3

的倍数依次为

3

、

3

、

6

。因此最小的完全立方数为

p^3q^3r^6=(pqr^2)^3\text{。}

所以正确答案是 D。

A perfect cube has prime exponents divisible by

3.

The least multiples of

3

that are at least

1,

2,

and

4

are

3,

3,

and

6,

respectively. Thus the smallest possible cube is

p^3q^3r^6=(pqr^2)^3.

Therefore the correct answer is D.

1985 AMC 12 第 12 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题