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1991 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

若

T_n=1+2+3+\cdots+n

，并且对

n=2

、

3

、

4

、

\ldots

，定义

\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}\text{，}

则

P_{1991}

最接近下列哪个数？

If

T_n=1+2+3+\cdots+n

and

\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}

for

n=2,

3,

4,

\ldots,

then

P_{1991}

is closest to which of the following numbers?

2.0

2.3

2.6

2.9

3.2

答案：D

知识点：telescoping product 三角形数 approximation

难度评级：1950

小提示：

分解

T_k-1

，并化简每个因子

\frac{T_k}{T_k-1}

Factor

T_k-1

and simplify each factor

\frac{T_k}{T_k-1}

大提示：

把每个因子写成

\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}

，然后连乘消去

Write each factor as

\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}

and telescope

解答：

由于

T_k=\frac{k(k+1)}{2}

且

T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2}

，

\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}\text{。}

连乘后大量因子相消：

\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2} \end{aligned}\text{。}

当

n=1991

时，该值略小于

3

，最接近

2.9

。

因此正确答案为 D。

Since

T_k=\frac{k(k+1)}{2}

and

T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2},

\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}.

The product telescopes:

\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2}. \end{aligned}

For

n=1991,

this is just under

3

and is closest to

2.9.

Thus the correct answer is D.

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