1996 AMC 12 第 12 题

Question

从整数到整数的函数

f

定义如下：

f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{若 \(n\) 为奇数},\\ \frac{n}{2} & \text{若 \(n\) 为偶数} \end{cases}\text{。}

假设

k

是奇数，且

f(f(f(k)))=27

。

k

的各位数字之和是多少？

A function

f

from the integers to the integers is defined as follows:

f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{if \(n\) is odd},\\ \frac{n}{2} & \text{if \(n\) is even}. \end{cases}

Suppose

k

is odd and

f(f(f(k)))=27.

What is the sum of the digits of

k?

3

6

9

12

15

答案：B

知识点：piecewise functions 奇偶性

难度评级：1570

小提示：

因为

k

是奇数，第一次迭代得到

k+3

，它是偶数

Because

k

is odd, the first iterate is

k+3

, which is even

大提示：

从

27

开始反向推算，并检查每个逆向分支所要求的奇偶性

Work backward from

27

, checking the parity required by each inverse branch

解答：

因为

k

是奇数，所以

f(k)=k+3

是偶数，于是

f(f(k))=\frac{k+3}{2}

。若这个值是奇数，加上

3

不可能得到

27

，因为这会要求该值为

24

。因此它是偶数，除以二后得到

27

，所以

\frac{k+3}{2}=54

。由此

k=105

，其各位数字之和为

6

。正确答案是 B。

Since

k

is odd,

f(k)=k+3

is even, so

f(f(k))=\frac{k+3}{2}.

If this value were odd, adding

3

could not produce

27

because that would require the value

24.

Therefore it is even and is halved to

27,

so

\frac{k+3}{2}=54.

Hence

k=105,

whose digits sum to

6.

The correct answer is B.

1996 AMC 12 第 12 题

答案：B

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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