1997 AMC 12 第 19 题

Question

如图，圆心为

O

的圆与两条坐标轴以及

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形

ABC

的斜边都相切，其中

AB=1

。将结果精确到百分位，圆的半径是多少？

A circle with center

O

is tangent to the coordinate axes and to the hypotenuse of the

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

ABC

as shown, where

AB=1.

To the nearest hundredth, what is the radius of the circle?

2.18

2.24

2.31

2.37

2.41

答案：D

知识点：相切圆 right triangles

难度评级：2120

小提示：

若圆的半径为

r

，则在图示坐标系中

O=(r,r)

If the circle radius is

r

, then

O=(r,r)

in the displayed coordinates

大提示：

写出这个

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形斜边所在直线的方程，并令圆心

O

到该直线的距离等于

r

Write the hypotenuse line of the

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle and set its distance from

O

equal to

r

解答：

取

A=(0,0)

、

B=(1,0)

、

C=(0,\sqrt3)

。斜边所在直线的方程为

\sqrt3x+y=\sqrt3

，圆心为

O=(r,r)

。由相切可得

\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r\text{。}

对于图中三角形外部的圆，有

(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r

，所以

r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}

=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37

。因此正确答案是 D。

Take

A=(0,0),

B=(1,0),

and

C=(0,\sqrt3).

The hypotenuse is

\sqrt3x+y=\sqrt3,

and the circle center is

O=(r,r).

Tangency gives

\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.

The pictured external circle has

(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,

so

r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}

=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.

Thus D is correct.

1997 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

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