1997 AMC 12 Problema 19

Question

Un círculo con centro

O

es tangente a los ejes coordenados y a la hipotenusa del triángulo

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

ABC

, como se muestra, donde

AB=1.

Redondeado a la centésima más cercana, ¿cuál es el radio del círculo?

A circle with center

O

is tangent to the coordinate axes and to the hypotenuse of the

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

ABC

as shown, where

AB=1.

To the nearest hundredth, what is the radius of the circle?

2.18

2.24

2.31

2.37

2.41

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes right triangles

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Si el radio del círculo es

r

, entonces

O=(r,r)

en las coordenadas mostradas

If the circle radius is

r

, then

O=(r,r)

in the displayed coordinates

Pista grande:

Escribe la ecuación de la recta que contiene la hipotenusa del triángulo

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

e iguala su distancia desde

O

a

r

Write the hypotenuse line of the

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle and set its distance from

O

equal to

r

Solución:

Toma

A=(0,0),

B=(1,0)

y

C=(0,\sqrt3).

La hipotenusa está en la recta

\sqrt3x+y=\sqrt3,

y el centro del círculo es

O=(r,r).

La tangencia da

\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.

Para el círculo exterior mostrado,

(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,

por lo que

r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}

=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.

Así, D es la respuesta correcta.

Take

A=(0,0),

B=(1,0),

and

C=(0,\sqrt3).

The hypotenuse is

\sqrt3x+y=\sqrt3,

and the circle center is

O=(r,r).

Tangency gives

\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.

The pictured external circle has

(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,

so

r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}

=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.

Thus D is correct.