1960 AMC 12 Problema 11

Question

Para cierto valor de

k,

el producto de las raíces de

x^2-3kx+2k^2-1=0

es

7.

Las raíces pueden caracterizarse como:

For a given value of

k,

the product of the roots of

x^2-3kx+2k^2-1=0

is

7.

The roots may be characterized as:

enteras y positivas

integral and positive

enteras y negativas

integral and negative

racionales, pero no enteras

rational, but not integral

irracionales

irrational

imaginarias

imaginary

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática radical

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Usa el término constante para determinar los valores posibles de

k

Use the constant term to determine the possible values of

k

Pista grande:

Para cada valor de

k,

examina la fórmula cuadrática o el discriminante

For either value of

k,

examine the quadratic formula or discriminant

Solución:

Por las fórmulas de Vieta,

2k^2-1=7,

así que

k=\pm2.

Las raíces son

3\pm\sqrt2

cuando

k=2,

y

-3\pm\sqrt2

cuando

k=-2.

En ambos casos, las dos raíces son irracionales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta’s formulas,

2k^2-1=7,

so

k=\pm2.

The roots are

3\pm\sqrt2

when

k=2,

and

-3\pm\sqrt2