1968 AMC 12 Problema 17

Question

Sea

f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},

donde

n

es un entero positivo. Si

x_k=(-1)^k,

para

k=1,

2,

\ldots,

n,

el conjunto de valores posibles de

f(n)

es:

Let

f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},

where

n

is a positive integer. If

x_k=(-1)^k,

k=1,

2,

\ldots,

n,

the set of possible values of

f(n)

is:

\{0\}

\left\{\dfrac1n\right\}

\left\{0,-\dfrac1n\right\}

\left\{0,\dfrac1n\right\}

\left\{1,\dfrac1n\right\}

Agrupa términos consecutivos como

-1+1

Pair consecutive terms

-1+1

Considera por separado los valores pares e impares de

n

Separate even and odd values of

n

Si

n

es par, los términos se agrupan para dar suma

0,

así que

f(n)=0.

Si

n

es impar, queda un último

-1,

así que

f(n)=-\frac{1}{n}.

Por lo tanto, los valores posibles son

\{0,-\frac{1}{n}\}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If

n

is even, the terms pair to give sum

0,

so

f(n)=0.

If

n

is odd, one final

-1

remains, so

f(n)=-\frac{1}{n}.

The possible values are therefore

\{0,-\frac{1}{n}\}.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 17 en otros años