1974 AMC 12 Problema 11

Question

Si

(a,b)

y

(c,d)

son dos puntos de la recta cuya ecuación es

y=mx+k,

entonces la distancia entre

(a,b)

y

(c,d),

en términos de

a,

c,

y

m,

es

If

(a,b)

and

(c,d)

are two points on the line whose equation is

y=mx+k,

then the distance between

(a,b)

and

(c,d),

in terms of

a,

c,

and

m,

is

|a-c|\sqrt{1+m^2}

|a+c|\sqrt{1+m^2}

\frac{|a-c|}{\sqrt{1+m^2}}

|a-c|(1+m^2)

|a-c||m|

Usa la ecuación de la recta para expresar

b-d

en términos de

a-c

Use the line equation to express

b-d

in terms of

a-c

Sustituye

b-d=m(a-c)

en la fórmula de la distancia

Substitute

b-d=m(a-c)

into the distance formula

Como ambos puntos están en la recta,

b-d=m(a-c).

Por lo tanto, su distancia es

\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since both points are on the line,

b-d=m(a-c).

Their distance is therefore

\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

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