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Problemas del 1974 AMC 12

30 problemas · 75 minutos

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1.

Si x≠0x\ne0 y tampoco es 44, y y≠0y\ne0 y tampoco es 6,6, entonces 2x+3y=12\frac2x+\frac3y=\frac12 es equivalente a
If x≠0x\ne0 or 44 and y≠0y\ne0 or 6,6, then 2x+3y=12\frac2x+\frac3y=\frac12 is equivalent to
4x+3y=xy4x+3y=xy
y=4x6−yy=\frac{4x}{6-y}
x2+y3=2\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2
4yy−6=x\frac{4y}{y-6}=x
ninguna de estas
none of these
Respuesta: D
Conceptos:ecuación racionalfactorización
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Elimina los tres denominadores a la vez
Clear all three denominators at once
Pista grande:
Después de multiplicar por 2xy,2xy, aísla los términos que contienen xx y factoriza
After multiplying by 2xy,2xy, isolate the terms containing xx and factor
Solución:
Al multiplicar por 2xy2xy, se obtiene 4y+6x=xy,4y+6x=xy, de modo que 4y=x(y−6).4y=x(y-6). Como y≠6,y\ne6, x=4yy−6. x=\frac{4y}{y-6}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Multiplying by 2xy2xy gives 4y+6x=xy,4y+6x=xy, so 4y=x(y−6).4y=x(y-6). Since y≠6,y\ne6, x=4yy−6. x=\frac{4y}{y-6}.
Therefore, the correct answer is D.

2.

Sean x1x_1 y x2x_2 tales que x1≠x2x_1\ne x_2 y 3xi2−hxi=b,3x_i^2-hx_i=b, para i=1,i=1, 2.2. Entonces x1+x2x_1+x_2 es igual a
Let x1x_1 and x2x_2 be such that x1≠x2x_1\ne x_2 and 3xi2−hxi=b,3x_i^2-hx_i=b, i=1,i=1, 2.2. Then x1+x2x_1+x_2 equals
−h3-\frac h3
h3\frac h3
b3\frac b3
2b2b
−b3-\frac b3
Respuesta: B
Conceptos:cuadráticaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Los dos números dados satisfacen la misma ecuación cuadrática
Both given numbers satisfy the same quadratic equation
Pista grande:
Pasa bb al lado izquierdo y usa la fórmula de la suma de las raíces
Move bb to the left and use the sum-of-roots formula
Solución:
Los números distintos x1,x2x_1,x_2 son las dos raíces de 3x2−hx−b=0. 3x^2-hx-b=0. Por las fórmulas de Vieta, su suma es −(−h)3=h3.-\frac{(-h)}{3}=\frac{h}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The distinct numbers x1,x2x_1,x_2 are the two roots of 3x2−hx−b=0. 3x^2-hx-b=0. By Vieta’s formulas, their sum is −(−h)3=h3.-\frac{(-h)}{3}=\frac{h}{3}.
Therefore, the correct answer is B.

3.

El coeficiente de x7x^7 en la expansión polinómica de (1+2x−x2)4 (1+2x-x^2)^4 es
The coefficient of x7x^7 in the polynomial expansion of (1+2x−x2)4 (1+2x-x^2)^4 is
−8-8
1212
66
−12-12
ninguna de estas
none of these
Respuesta: A
Conceptos:teorema del binomiopolinomio
Nivel de dificultad: 1830
Pista pequeña:
Un término de grado 77 debe seleccionar grados 2,2, 2,2, 2,2, 11 de los cuatro factores
A degree-77 term must select degrees 2,2, 2,2, 2,2, 11 from the four factors
Pista grande:
Elige qué factor aporta 2x2x; los otros tres aportan −x2-x^2
Choose which factor contributes 2x2x; the other three contribute −x2-x^2
Solución:
La única manera de que los cuatro términos seleccionados tengan grado total 77 es elegir 2x2x una vez y −x2-x^2 tres veces. Hay 44 opciones para el primer término, así que el coeficiente es 4(2)(−1)3=−8. 4(2)(-1)^3=-8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The only way four selected terms can have total degree 77 is to choose 2x2x once and −x2-x^2 three times. There are 44 choices for the first factor, so the coefficient is 4(2)(−1)3=−8. 4(2)(-1)^3=-8.
Therefore, the correct answer is A.

4.

¿Cuál es el residuo al dividir x51+51x^{51}+51 entre x+1x+1?
What is the remainder when x51+51x^{51}+51 is divided by x+1?x+1?
00
11
4949
5050
5151
Respuesta: D
Conceptos:polinomiosustituciónexponente
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Para dividir entre x+1,x+1, evalúa el polinomio en −1-1
For division by x+1,x+1, evaluate the polynomial at −1-1
Pista grande:
El exponente 5151 es impar
The exponent 5151 is odd
Solución:
Por el teorema del residuo, el residuo es (−1)51+51=−1+51=50. (-1)^{51}+51=-1+51=50.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
By the polynomial remainder theorem, the remainder is (−1)51+51=−1+51=50. (-1)^{51}+51=-1+51=50.
Therefore, the correct answer is D.

5.

Un cuadrilátero ABCDABCD está inscrito en un círculo y el lado ABAB se prolonga más allá de BB hasta el punto E.E. Si ∠BAD=92∘\angle BAD=92^\circ y ∠ADC=68∘,\angle ADC=68^\circ, halla ∠EBC.\angle EBC.
Given a quadrilateral ABCDABCD inscribed in a circle with side ABAB extended beyond BB to point E,E, if ∠BAD=92∘\angle BAD=92^\circ and ∠ADC=68∘,\angle ADC=68^\circ, find ∠EBC.\angle EBC.
66∘66^\circ
68∘68^\circ
70∘70^\circ
88∘88^\circ
92∘92^\circ
Respuesta: B
Conceptos:cuadrilátero cíclicopersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1460
Pista pequeña:
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios
Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary
Pista grande:
El ángulo exterior buscado también es suplementario de ∠ABC\angle ABC
The desired exterior angle is also supplementary to ∠ABC\angle ABC
Solución:
Como ABCDABCD es cíclico, ∠ABC+∠ADC=180∘.\angle ABC+\angle ADC=180^\circ. Puesto que BEBE prolonga a BA,BA, también se cumple ∠EBC+∠ABC=180∘\angle EBC+\angle ABC=180^\circ. Por consiguiente, ∠EBC=∠ADC=68∘. \angle EBC=\angle ADC=68^\circ. El ángulo dado de 92∘92^\circ no es necesario.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Because ABCDABCD is cyclic, ∠ABC+∠ADC=180∘.\angle ABC+\angle ADC=180^\circ. Since BEBE extends BA,BA, ∠EBC+∠ABC=180∘\angle EBC+\angle ABC=180^\circ as well. Hence ∠EBC=∠ADC=68∘. \angle EBC=\angle ADC=68^\circ. The given 92∘92^\circ angle is unnecessary.
Therefore, the correct answer is B.

6.

Para números reales positivos xx e yy, se define x∗y=x⋅yx+y;x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}; entonces
For positive real numbers xx and yy define x∗y=x⋅yx+y;x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}; then
“∗*” es conmutativa, pero no asociativa
“∗*” is commutative but not associative
“∗*” es asociativa, pero no conmutativa
“∗*” is associative but not commutative
“∗*” no es conmutativa ni asociativa
“∗*” is neither commutative nor associative
“∗*” es conmutativa y asociativa
“∗*” is commutative and associative
ninguna de estas
none of these
Respuesta: D
Conceptos:operación personalizadafracción
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La fórmula no cambia al intercambiar xx e yy
The formula is visibly unchanged when xx and yy are interchanged
Pista grande:
Reescribe la operación mediante su recíproco: 1x∗y=1x+1y\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y
Rewrite the operation through its reciprocal: 1x∗y=1x+1y\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y
Solución:
La simetría en x,x, yy hace que la operación sea conmutativa. Además, 1x∗y=1x+1y. \frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y. Así, tanto (x∗y)∗z(x*y)*z como x∗(y∗z)x*(y*z) tienen por recíproco 1x+1y+1z,\frac1x+\frac1y+\frac1z, por lo que son iguales. La operación también es asociativa.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Symmetry in x,x, yy makes the operation commutative. Also, 1x∗y=1x+1y. \frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y. Thus both (x∗y)∗z(x*y)*z and x∗(y∗z)x*(y*z) have reciprocal 1x+1y+1z,\frac1x+\frac1y+\frac1z, so they are equal. The operation is associative too.
Therefore, the correct answer is D.

7.

La población de un pueblo aumentó en 1,2001{,}200 personas y luego esta nueva población disminuyó un 11%.11\%. El pueblo tenía entonces 3232 personas menos que antes del aumento de 1,2001{,}200. ¿Cuál era la población original?
A town’s population increased by 1,2001{,}200 people, and then this new population decreased by 11%.11\%. The town now had 3232 less people than it did before the 1,2001{,}200 increase. What is the original population?
1,2001{,}200
11,20011{,}200
9,9689{,}968
10,00010{,}000
ninguna de estas
none of these
Respuesta: D
Conceptos:porcentajeecuación lineal
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Sea PP la población original y aplica la disminución a P+1200P+1200
Let PP be the original population and apply the decrease to P+1200P+1200
Pista grande:
La población final es a la vez 0.89(P+1200)0.89(P+1200) y P−32P-32
The final population is both 0.89(P+1200)0.89(P+1200) and P−32P-32
Solución:
Sea PP la población original. Entonces 0.89(P+1200)=P−32. 0.89(P+1200)=P-32. Por lo tanto, 0.11P=1100,0.11P=1100, de donde P=10,000.P=10{,}000.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the original population be P.P. Then 0.89(P+1200)=P−32. 0.89(P+1200)=P-32. Therefore 0.11P=1100,0.11P=1100, giving P=10,000.P=10{,}000.
Therefore, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es el menor número primo que divide la suma 311+5133^{11}+5^{13}?
What is the smallest prime number dividing the sum 311+513?3^{11}+5^{13}?
22
33
55
311+5133^{11}+5^{13}
ninguna de estas
none of these
Respuesta: A
Conceptos:paridadprimo
Nivel de dificultad: 920
Pista pequeña:
Ambas bases son impares
Both bases are odd
Pista grande:
La suma de dos enteros impares es divisible por el menor primo
The sum of two odd integers is divisible by the smallest prime
Solución:
Tanto 3113^{11} como 5135^{13} son impares, así que su suma es par. Por tanto, es divisible por 2,2, el menor número primo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Both 3113^{11} and 5135^{13} are odd, so their sum is even. Hence it is divisible by 2,2, the smallest prime.
Therefore, the correct answer is A.

9.

Los enteros mayores que uno se ordenan en cinco columnas como sigue:
22 33 44 55
99 88 77 66
1010 1111 1212 1313
1717 1616 1515 1414
⋮\vdots ⋮\vdots ⋮\vdots ⋮\vdots
(En cada fila aparecen cuatro enteros consecutivos; en la primera, tercera y demás filas impares, los enteros ocupan las últimas cuatro columnas y aumentan de izquierda a derecha; en la segunda, cuarta y demás filas pares, ocupan las primeras cuatro columnas y aumentan de derecha a izquierda.)
¿En qué columna aparecerá el número 1,0001{,}000?
The integers greater than one are arranged in five columns as follows:
22 33 44 55
99 88 77 66
1010 1111 1212 1313
1717 1616 1515 1414
⋮\vdots ⋮\vdots ⋮\vdots ⋮\vdots
(Four consecutive integers appear in each row; in the first, third and other odd numbered rows, the integers appear in the last four columns and increase from left to right; in the second, fourth and other even numbered rows, the integers appear in the first four columns and increase from right to left.)
In which column will the number 1,0001{,}000 fall?
primera
first
segunda
second
tercera
third
cuarta
fourth
quinta
fifth
Respuesta: B
Conceptos:reconocimiento de patronesaritmética modular
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
Observa dónde aparecen los múltiplos de 88 mostrados
Look at where the displayed multiples of 88 occur
Pista grande:
Cada ciclo de dos filas contiene ocho enteros consecutivos
Each two-row cycle contains eight consecutive integers
Solución:
Cada par de filas forma un bloque repetitivo de ocho enteros. En cada bloque, su múltiplo de 88 está en la segunda columna, como ocurre con 88 y 16.16. Como 1000=125⋅8,1000=125\cdot8, también está en la segunda columna.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Each pair of rows is a repeating block of eight integers. In every such block, its multiple of 88 lies in the second column, as do 88 and 16.16. Since 1000=125⋅8,1000=125\cdot8, it also lies in the second column.
Therefore, the correct answer is B.

10.

¿Cuál es el menor valor entero de kk para el cual 2x(kx−4)−x2+6=0 2x(kx-4)-x^2+6=0 no tiene raíces reales?
What is the smallest integral value of kk such that 2x(kx−4)−x2+6=0 2x(kx-4)-x^2+6=0 has no real roots?
−1-1
22
33
44
55
Respuesta: B
Conceptos:cuadráticadesigualdad
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:
Primero reescribe la ecuación en la forma cuadrática estándar
First rewrite the equation in standard quadratic form
Pista grande:
No tener raíces reales significa que el discriminante es negativo
No real roots means the discriminant is negative
Solución:
La ecuación es (2k−1)x2−8x+6=0.(2k-1)x^2-8x+6=0. Su discriminante es 64−24(2k−1)=88−48k. 64-24(2k-1)=88-48k. Este es negativo exactamente cuando k>116,k\gt\frac{11}{6}, así que el menor entero posible es 2.2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The equation is (2k−1)x2−8x+6=0.(2k-1)x^2-8x+6=0. Its discriminant is 64−24(2k−1)=88−48k. 64-24(2k-1)=88-48k. This is negative exactly when k>116,k\gt\frac{11}{6}, so the least integer possible is 2.2.
Therefore, the correct answer is B.

11.

Si (a,b)(a,b) y (c,d)(c,d) son dos puntos de la recta cuya ecuación es y=mx+k,y=mx+k, entonces la distancia entre (a,b)(a,b) y (c,d),(c,d), en términos de a,a, c,c, y m,m, es
If (a,b)(a,b) and (c,d)(c,d) are two points on the line whose equation is y=mx+k,y=mx+k, then the distance between (a,b)(a,b) and (c,d),(c,d), in terms of a,a, c,c, and m,m, is
∣a−c∣1+m2|a-c|\sqrt{1+m^2}
∣a+c∣1+m2|a+c|\sqrt{1+m^2}
∣a−c∣1+m2\frac{|a-c|}{\sqrt{1+m^2}}
∣a−c∣(1+m2)|a-c|(1+m^2)
∣a−c∣∣m∣|a-c||m|
Respuesta: A
Conceptos:geometría analíticafórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 1390
Pista pequeña:
Usa la ecuación de la recta para expresar b−db-d en términos de a−ca-c
Use the line equation to express b−db-d in terms of a−ca-c
Pista grande:
Sustituye b−d=m(a−c)b-d=m(a-c) en la fórmula de la distancia
Substitute b−d=m(a−c)b-d=m(a-c) into the distance formula
Solución:
Como ambos puntos están en la recta, b−d=m(a−c).b-d=m(a-c). Por lo tanto, su distancia es ℓ=(a−c)2+(b−d)2=(a−c)2(1+m2)=∣a−c∣1+m2. \begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since both points are on the line, b−d=m(a−c).b-d=m(a-c). Their distance is therefore ℓ=(a−c)2+(b−d)2=(a−c)2(1+m2)=∣a−c∣1+m2. \begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is A.

12.

Si g(x)=1−x2g(x)=1-x^2 y f(g(x))=1−x2x2f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2} cuando x≠0,x\ne0, entonces f(12)f(\frac{1}{2}) es igual a
If g(x)=1−x2g(x)=1-x^2 and f(g(x))=1−x2x2f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2} when x≠0,x\ne0, then f(12)f(\frac{1}{2}) equals
34\frac{3}{4}
11
33
22\frac{\sqrt2}{2}
2\sqrt2
Respuesta: B
Conceptos:funciónsustitución
Nivel de dificultad: 1620
Pista pequeña:
Elige un xx no nulo para el cual g(x)=12g(x)=\frac{1}{2}
Choose a nonzero xx for which g(x)=12g(x)=\frac{1}{2}
Pista grande:
La ecuación 1−x2=121-x^2=\frac{1}{2} determina x2x^2 directamente
The equation 1−x2=121-x^2=\frac{1}{2} determines x2x^2 directly
Solución:
Si g(x)=12,g(x)=\frac{1}{2}, entonces x2=12,x^2=\frac{1}{2}, y cualquiera de los valores correspondientes de xx es no nulo. Por tanto, f(12)=1−x2x2=1212=1. f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If g(x)=12,g(x)=\frac{1}{2}, then x2=12,x^2=\frac{1}{2}, and either corresponding xx is nonzero. Hence f(12)=1−x2x2=1212=1. f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.
Therefore, the correct answer is B.

13.

¿Cuál de las siguientes proposiciones equivale a «Si PP es verdadera, entonces QQ es falsa»?
Which of the following is equivalent to “If PP is true then QQ is false”?
«PP es verdadera o QQ es falsa».
“PP is true or QQ is false.”
«Si QQ es falsa, entonces PP es verdadera».
“If QQ is false then PP is true.”
«Si PP es falsa, entonces QQ es verdadera».
“If PP is false then QQ is true.”
«Si QQ es verdadera, entonces PP es falsa».
“If QQ is true then PP is false.”
«Si QQ es verdadera, entonces PP es verdadera».
“If QQ is true then PP is true.”
Respuesta: D
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Una implicación equivale a su contrapositiva
An implication is equivalent to its contrapositive
Pista grande:
Invierte la implicación y niega tanto «PP verdadera» como «QQ falsa»
Reverse the implication and negate both “PP true” and “QQ false”
Solución:
La contrapositiva de «PP verdadera implica QQ falsa» es «QQ no falsa implica PP no verdadera». Esto es exactamente «Si QQ es verdadera, entonces PP es falsa».
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The contrapositive of “PP true implies QQ false” is “QQ not false implies PP not true.” This is exactly “If QQ is true then PP is false.”
Therefore, the correct answer is D.

14.

¿Cuál afirmación es correcta?
Which statement is correct?
Si x<0,x\lt0, entonces x2>x.x^2\gt x.
If x<0,x\lt0, then x2>x.x^2\gt x.
Si x2>0,x^2\gt0, entonces x>0.x\gt0.
If x2>0,x^2\gt0, then x>0.x\gt0.
Si x2>x,x^2\gt x, entonces x>0.x\gt0.
If x2>x,x^2\gt x, then x>0.x\gt0.
Si x2>x,x^2\gt x, entonces x<0.x\lt0.
If x2>x,x^2\gt x, then x<0.x\lt0.
Si x<1,x\lt1, entonces x2<x.x^2\lt x.
If x<1,x\lt1, then x2<x.x^2\lt x.
Respuesta: A
Conceptos:desigualdadcontraejemplo
Nivel de dificultad: 1160
Pista pequeña:
Para un xx negativo, compara primero x2x^2 con cero
For a negative x,x, compare x2x^2 first with zero
Pista grande:
Valores de prueba sencillos como −1,-1, 12,\frac12, y 22 descartan las demás implicaciones
Simple test values such as −1,-1, 12,\frac12, and 22 reject the other implications
Solución:
Si x<0,x\lt0, entonces x2>0>x,x^2\gt0\gt x, de modo que la opción A siempre se cumple. Los valores x=−1,x=-1, x=−1,x=-1, x=2,x=2, y x=−1x=-1 refutan, respectivamente, B, C, D y E.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
If x<0,x\lt0, then x2>0>x,x^2\gt0\gt x, so choice A always holds. The values x=−1,x=-1, x=−1,x=-1, x=2,x=2, and x=−1x=-1 respectively disprove B, C, D, and E.
Therefore, the correct answer is A.

15.

Si x<−2x\lt-2, entonces ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| es igual a
If x<−2x\lt-2 then ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| equals
2+x2+x
−2−x-2-x
xx
−x-x
−2-2
Respuesta: B
Conceptos:valor absolutodesigualdad
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
Resuelve primero el valor absoluto interior usando 1+x<−11+x\lt-1
Resolve the inner absolute value first using 1+x<−11+x\lt-1
Pista grande:
Después de sustituir ∣1+x∣|1+x| por −1−x,-1-x, determina el signo de 2+x2+x
After replacing ∣1+x∣|1+x| by −1−x,-1-x, determine the sign of 2+x2+x
Solución:
Como x<−2,x\lt-2, se tiene 1+x<0,1+x\lt0, así que ∣1+x∣=−1−x.|1+x|=-1-x. Por tanto, ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| se convierte en ∣1−(−1−x)∣,|1-(-1-x)|, que es ∣2+x∣=−2−x|2+x|=-2-x porque 2+x<0.2+x\lt0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since x<−2,x\lt-2, 1+x<0,1+x\lt0, so ∣1+x∣=−1−x.|1+x|=-1-x. Thus ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| becomes ∣1−(−1−x)∣,|1-(-1-x)|, which is ∣2+x∣=−2−x|2+x|=-2-x because 2+x<0.2+x\lt0.
Therefore, the correct answer is B.

16.

Un círculo de radio rr está inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, y un círculo de radio RR está circunscrito al triángulo. Entonces Rr\frac{R}{r} es igual a
A circle of radius rr is inscribed in a right isosceles triangle, and a circle of radius RR is circumscribed about the triangle. Then Rr\frac{R}{r} equals
1+21+\sqrt2
2+22\frac{2+\sqrt2}{2}
2−12\frac{\sqrt2-1}{2}
1+22\frac{1+\sqrt2}{2}
2(2−2)2(2-\sqrt2)
Respuesta: A
Conceptos:triángulo rectángulo especialcircunferencia inscrita, incentro e inradiocircunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Sea aa la longitud de cada cateto y expresa ambos radios en términos de aa
Let each leg have length aa and express both radii in terms of aa
Pista grande:
En un triángulo rectángulo, el circunradio es la mitad de la hipotenusa; el inradio es a+a−a22\frac{a+a-a\sqrt2}{2}
For a right triangle, the circumradius is half the hypotenuse; the inradius is a+a−a22\frac{a+a-a\sqrt2}{2}
Solución:
Con ambos catetos de longitud aa e hipotenusa a2,a\sqrt2, R=a22,r=a+a−a22. \begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned} Por lo tanto, Rr=22−2=12−1=1+2. \begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
With both legs of length aa and hypotenuse a2,a\sqrt2, R=a22,r=a+a−a22. \begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned} Therefore Rr=22−2=12−1=1+2. \begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is A.

17.

Si i2=−1,i^2=-1, entonces (1+i)20−(1−i)20(1+i)^{20}-(1-i)^{20} es igual a
If i2=−1,i^2=-1, then (1+i)20−(1−i)20(1+i)^{20}-(1-i)^{20} equals
−1024-1024
−1024i-1024i
00
10241024
1024i1024i
Respuesta: C
Conceptos:número complejoexponente
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Calcula la cuarta potencia de cada base conjugada
Compute the fourth power of each conjugate base
Pista grande:
Tanto (1+i)4(1+i)^4 como (1−i)4(1-i)^4 son iguales a −4-4
Both (1+i)4(1+i)^4 and (1−i)4(1-i)^4 equal −4-4
Solución:
Como (1+i)2=2i,(1+i)^2=2i, tenemos (1+i)4=−4.(1+i)^4=-4. Del mismo modo, (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i y (1−i)4=−4.(1-i)^4=-4. Por tanto, cada vigésima potencia es igual a (−4)5=−1024,(-4)^5=-1024, y su diferencia es 0.0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since (1+i)2=2i,(1+i)^2=2i, we have (1+i)4=−4.(1+i)^4=-4. Likewise (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i and (1−i)4=−4.(1-i)^4=-4. Hence each twentieth power equals (−4)5=−1024,(-4)^5=-1024, and their difference is 0.0.
Therefore, the correct answer is C.

18.

Si log⁡83=p\log_8 3=p y log⁡35=q,\log_3 5=q, entonces, en términos de pp y q,q, log⁡105\log_{10}5 es igual a
If log⁡83=p\log_8 3=p and log⁡35=q,\log_3 5=q, then, in terms of pp and q,q, log⁡105\log_{10}5 equals
pqpq
3p+q5\frac{3p+q}{5}
1+3pqp+q\frac{1+3pq}{p+q}
3pq1+3pq\frac{3pq}{1+3pq}
p2+q2p^2+q^2
Respuesta: D
Conceptos:logaritmo
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Convierte todos los logaritmos a base 22
Convert every logarithm to base 22
Pista grande:
Los datos implican log⁡23=3p\log_2 3=3p y log⁡25=3pq\log_2 5=3pq
The givens imply log⁡23=3p\log_2 3=3p and log⁡25=3pq\log_2 5=3pq
Solución:
De p=log⁡83,p=\log_8 3, se obtiene log⁡23=3p.\log_2 3=3p. Por lo tanto, log⁡25=(log⁡23)(log⁡35)=3pq. \log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq. Como log⁡210=1+log⁡25=1+3pq,\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq, log⁡105=log⁡25log⁡210=3pq1+3pq. \log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
From p=log⁡83,p=\log_8 3, log⁡23=3p.\log_2 3=3p. Therefore log⁡25=(log⁡23)(log⁡35)=3pq. \log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq. Since log⁡210=1+log⁡25=1+3pq,\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq, log⁡105=log⁡25log⁡210=3pq1+3pq. \log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.
Therefore, the correct answer is D.

19.

En la figura adjunta, ABCDABCD es un cuadrado y CMNCMN es un triángulo equilátero. Si el área de ABCDABCD es una pulgada cuadrada, entonces el área de CMNCMN, en pulgadas cuadradas, es
In the adjoining figure ABCDABCD is a square and CMNCMN is an equilateral triangle. If the area of ABCDABCD is one square inch, then the area of CMNCMN in square inches is
23−32\sqrt3-3
1−331-\frac{\sqrt3}{3}
34\frac{\sqrt3}{4}
23\frac{\sqrt2}{3}
4−234-2\sqrt3
Respuesta: A
Conceptos:triángulo equiláteroTeorema de Pitágorasárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2070
Pista pequeña:
El cuadrado tiene lado 1;1; establece DM=NB=xDM=NB=x comparando los lados iguales CMCM y CNCN
The square has side 1;1; set DM=NB=xDM=NB=x by comparing the equal sides CMCM and CNCN
Pista grande:
Iguala CM2=1+x2CM^2=1+x^2 con MN2=2(1−x)2MN^2=2(1-x)^2
Equate CM2=1+x2CM^2=1+x^2 with MN2=2(1−x)2MN^2=2(1-x)^2
Solución:
El cuadrado tiene lado 1.1. Como CM=CN,CM=CN, la simetría de los cuadrados de sus longitudes da DM=NB=x.DM=NB=x. Además, CM2=1+x2,MN2=2(1−x)2. \begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned} Al igualarlas, pues CMNCMN es equilátero, se obtiene x2−4x+1=0.x^2-4x+1=0. La raíz en (0,1)(0,1) es x=2−3.x=2-\sqrt3.
El cuadrado del lado del triángulo es 1+x2,1+x^2, por lo que su área es A△=34(1+x2)=34(1+(2−3)2)=23−3. \begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The square has side 1.1. Since CM=CN,CM=CN, symmetry of their squared lengths gives DM=NB=x.DM=NB=x. Also, CM2=1+x2,MN2=2(1−x)2. \begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned} Equating these because CMNCMN is equilateral gives x2−4x+1=0.x^2-4x+1=0. The root in (0,1)(0,1) is x=2−3.x=2-\sqrt3.
The triangle’s side has square 1+x2,1+x^2, so its area is A△=34(1+x2)=34(1+(2−3)2)=23−3. \begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is A.

20.

Sea T=13−8−18−7+17−6−16−5+15−2; \begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned} entonces
Let T=13−8−18−7+17−6−16−5+15−2; \begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned} then
T<1T\lt1
T=1T=1
1<T<21\lt T\lt2
T>2T\gt2
T=1(3−8)(8−7)(7−6)⋅(6−5)(5−2)\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}
Respuesta: D
Conceptos:racionalización del denominadortelescópica
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Racionaliza cada denominador por separado
Rationalize each denominator separately
Pista grande:
Cada denominador es una diferencia de raíces cuadradas cuyos cuadrados difieren en 11
Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by 11
Solución:
Al racionalizar los cinco términos se obtiene T=(3+8)−(8+7)+(7+6)−(6+5)+(5+2)=5. \begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned} Por tanto, T>2.T\gt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Rationalizing the five terms gives T=(3+8)−(8+7)+(7+6)−(6+5)+(5+2)=5. \begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned} Thus T>2.T\gt2.
Therefore, the correct answer is D.

21.

En una progresión geométrica de términos positivos, la diferencia entre el quinto y el cuarto término es 576,576, y la diferencia entre el segundo y el primero es 9.9. ¿Cuál es la suma de los primeros cinco términos de esta progresión?
In a geometric series of positive terms the difference between the fifth and fourth terms is 576,576, and the difference between the second and first terms is 9.9. What is the sum of the first five terms of this series?
10611061
10231023
10241024
768768
ninguna de estas
none of these
Respuesta: B
Conceptos:sucesión geométricasumatoria
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Denota el primer término por aa y la razón común por rr
Write the first term as aa and the common ratio as rr
Pista grande:
Divide ar3(r−1)=576ar^3(r-1)=576 entre a(r−1)=9a(r-1)=9
Divide ar3(r−1)=576ar^3(r-1)=576 by a(r−1)=9a(r-1)=9
Solución:
Sea aa el primer término y rr la razón. Las condiciones dan ar3(r−1)=576,a(r−1)=9. \begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned} Su cociente da r3=64,r^3=64, así que r=4.r=4. Entonces 3a=9,3a=9, y por ello a=3.a=3. La suma es S=3(1+4+16+64+256)=3⋅341=1023. \begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the first term be aa and the ratio be r.r. The conditions give ar3(r−1)=576,a(r−1)=9. \begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned} Their quotient gives r3=64,r^3=64, so r=4.r=4. Then 3a=9,3a=9, hence a=3.a=3. The sum is S=3(1+4+16+64+256)=3⋅341=1023. \begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is B.

22.

El valor mínimo de sin⁡A2−3cos⁡A2\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2 se alcanza cuando AA es
The minimum value of sin⁡A2−3cos⁡A2\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2 is attained when AA is
−180∘-180^\circ
60∘60^\circ
120∘120^\circ
0∘0^\circ
ninguna de estas
none of these
Respuesta: E
Conceptos:identidad trigonométricatrigonometría
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Combina el seno y el coseno en un solo seno desplazado de amplitud 22
Combine the sine and cosine into one shifted sine with amplitude 22
Pista grande:
Usa sin⁡u−3cos⁡u=2sin⁡(u−60∘)\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)
Use sin⁡u−3cos⁡u=2sin⁡(u−60∘)\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)
Solución:
Sea u=A2.u=\frac{A}{2}. Entonces sin⁡u−3cos⁡u\sin u-\sqrt3\cos u es igual a 2sin⁡(u−60∘).2\sin(u-60^\circ). Su mínimo ocurre cuando u−60∘=270∘+360∘n,u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n, así que A=660∘+720∘n A=660^\circ+720^\circ n para algún entero n.n. Ninguna de las primeras cuatro opciones tiene esta forma.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let u=A2.u=\frac{A}{2}. Then sin⁡u−3cos⁡u\sin u-\sqrt3\cos u equals 2sin⁡(u−60∘).2\sin(u-60^\circ). Its minimum occurs when u−60∘=270∘+360∘n,u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n, so A=660∘+720∘n A=660^\circ+720^\circ n for an integer n.n. None of the first four choices has this form.
Therefore, the correct answer is E.

23.

En la figura adjunta, TPTP y T′QT'Q son tangentes paralelas a un círculo de radio r,r, y TT y T′T' son los puntos de tangencia. PT′′QPT''Q es una tercera tangente cuyo punto de tangencia es T′′T''. Si TP=4TP=4 y T′Q=9T'Q=9, entonces rr es
In the adjoining figure TPTP and T′QT'Q are parallel tangents to a circle of radius r,r, with TT and T′T' the points of tangency. PT′′QPT''Q is a third tangent with T′′T'' as point of tangency. If TP=4TP=4 and T′Q=9T'Q=9 then rr is
256\frac{25}{6}
66
254\frac{25}{4}
un número distinto de 256,\frac{25}{6}, 6,6, o 254\frac{25}{4}
a number other than 256,\frac{25}{6}, 6,6, or 254\frac{25}{4}
no se puede determinar con la información dada
not determinable from the given information
Respuesta: B
Conceptos:recta tangentetriángulo rectángulosemejanza
Nivel de dificultad: 2070
Pista pequeña:
El centro está en cada bisectriz formada por dos tangentes desde el mismo punto exterior
The center lies on each angle bisector formed by two tangents from the same external point
Pista grande:
Demuestra que ∠POQ=90∘\angle POQ=90^\circ y usa en T′′T'' el teorema de la altura a la hipotenusa
Show that ∠POQ=90∘\angle POQ=90^\circ and use the altitude-to-hypotenuse theorem at T′′T''
Solución:
Los radios a los puntos de tangencia forman triángulos rectángulos congruentes desde cada punto exterior, por lo que OPOP y OQOQ bisecan los dos ángulos entre tangentes. Como las otras dos tangentes son paralelas, estos medios ángulos suman 90∘;90^\circ; de ahí que ∠POQ=90∘.\angle POQ=90^\circ.
Así, OT′′=rOT''=r es la altura a la hipotenusa PQ.PQ. La igualdad de los segmentos tangentes da PT′′=PT=4PT''=PT=4 y QT′′=QT′=9.QT''=QT'=9. El teorema de la altura produce r2=(PT′′)(QT′′)=4⋅9=36, r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36, por lo que r=6.r=6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The radii to the tangency points make congruent right triangles from each external point, so OPOP and OQOQ bisect the two tangent angles. Because the other two tangents are parallel, these half-angles add to 90∘;90^\circ; hence ∠POQ=90∘.\angle POQ=90^\circ.
Thus OT′′=rOT''=r is the altitude to the hypotenuse PQ.PQ. Equal tangent segments give PT′′=PT=4PT''=PT=4 and QT′′=QT′=9.QT''=QT'=9. The altitude theorem yields r2=(PT′′)(QT′′)=4⋅9=36, r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36, so r=6.r=6.
Therefore, the correct answer is B.

24.

Se lanza un dado equilibrado seis veces. La probabilidad de obtener cinco o seis en por lo menos cinco lanzamientos es
A fair die is rolled six times. The probability of rolling at least a five at least five times is
13729\frac{13}{729}
12729\frac{12}{729}
2729\frac{2}{729}
3729\frac{3}{729}
ninguna de estas
none of these
Respuesta: A
Conceptos:probabilidad binomialdados (probabilidad)
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Un lanzamiento es un éxito con probabilidad 26=13\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
A roll is a success with probability 26=13\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
Pista grande:
Suma los casos disjuntos de exactamente cinco éxitos y exactamente seis éxitos
Add the disjoint cases of exactly five successes and exactly six successes
Solución:
Sea un éxito obtener 55 o 6,6, de modo que su probabilidad sea 13.\frac{1}{3}. La probabilidad buscada es (65)(13)5(23)+(13)6=12729+1729=13729. \begin{aligned} &\binom65\left(\frac13\right)^5 \left(\frac23\right) +\left(\frac13\right)^6\\ &\qquad=\frac{12}{729}+\frac1{729}\\ &\qquad=\frac{13}{729}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let a success be a 55 or 6,6, so its probability is 13.\frac{1}{3}. The desired probability is (65)(13)5(23)+(13)6=12729+1729=13729. \begin{aligned} &\binom65\left(\frac13\right)^5 \left(\frac23\right) +\left(\frac13\right)^6\\ &\qquad=\frac{12}{729}+\frac1{729}\\ &\qquad=\frac{13}{729}. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is A.

25.

En el paralelogramo ABCDABCD del diagrama adjunto, se traza la recta DPDP, que biseca BCBC en NN y corta a ABAB, prolongado, en P.P. Desde el vértice C,C, se traza la recta CQCQ, que biseca el lado ADAD en MM y corta a ABAB, prolongado, en Q.Q. Las rectas DPDP y CQCQ se cortan en O.O. Si el área del paralelogramo ABCDABCD es k,k, entonces el área del triángulo QPOQPO es igual a
In parallelogram ABCDABCD of the accompanying diagram, line DPDP is drawn bisecting BCBC at NN and meeting ABAB (extended) at P.P. From vertex C,C, line CQCQ is drawn bisecting side ADAD at MM and meeting ABAB (extended) at Q.Q. Lines DPDP and CQCQ meet at O.O. If the area of parallelogram ABCDABCD is k,k, then the area of triangle QPOQPO is equal to
kk
6k5\frac{6k}{5}
9k8\frac{9k}{8}
5k4\frac{5k}{4}
2k2k
Respuesta: C
Conceptos:paralelogramogeometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:
Usa A=(0,0),A=(0,0), B=(1,0),B=(1,0), D=(u,v),D=(u,v), y C=(u+1,v)C=(u+1,v)
Use A=(0,0),A=(0,0), B=(1,0),B=(1,0), D=(u,v),D=(u,v), and C=(u+1,v)C=(u+1,v)
Pista grande:
Las rectas de los puntos medios cortan la base en Q=(−1,0)Q=(-1,0) y P=(2,0)P=(2,0); luego halla la altura de OO
The midpoint lines meet the baseline at Q=(−1,0)Q=(-1,0) and P=(2,0)P=(2,0); then find OO’s height
Solución:
Elige las coordenadas A=(0,0),A=(0,0), B=(1,0),B=(1,0), D=(u,v),D=(u,v), y C=(u+1,v),C=(u+1,v), de modo que k=v.k=v. Los puntos medios son M=(u2,v2),N=(1+u2,v2). \begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned} Al prolongar CMCM y DNDN hasta y=0y=0, se obtiene Q=(−1,0)Q=(-1,0) y P=(2,0).P=(2,0).
Al parametrizar DPDP y CQCQ, se ve que su intersección es O=(3u4+12,3v4).O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}). Así, QP=3QP=3 y la altura desde OO es 3v4,\frac{3v}{4}, por lo que [QPO]=12(3)(3v4)=9v8=9k8. \begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Choose coordinates A=(0,0),A=(0,0), B=(1,0),B=(1,0), D=(u,v),D=(u,v), and C=(u+1,v),C=(u+1,v), so k=v.k=v. The midpoints are M=(u2,v2),N=(1+u2,v2). \begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned} Extending CMCM and DNDN to y=0y=0 gives Q=(−1,0)Q=(-1,0) and P=(2,0).P=(2,0).
Parameterizing DPDP and CQCQ shows their intersection is O=(3u4+12,3v4).O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}). Thus QP=3QP=3 and the height from OO is 3v4,\frac{3v}{4}, so [QPO]=12(3)(3v4)=9v8=9k8. \begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is C.

26.

El número de divisores enteros positivos distintos de (30)4(30)^4, excluyendo 11 y (30)4(30)^4, es
The number of distinct positive integral divisors of (30)4(30)^4 excluding 11 and (30)4(30)^4 is
100100
125125
123123
3030
ninguna de estas
none of these
Respuesta: C
Conceptos:factorización en primosconteo de factores
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:
Factoriza 30430^4 como producto de potencias de 2,2, 3,3, y 55
Factor 30430^4 into powers of 2,2, 3,3, and 55
Pista grande:
Elige independientemente cada exponente primo de 00 a 4,4, y luego elimina dos divisores
Choose each prime exponent independently from 00 through 4,4, then remove two divisors
Solución:
Como 304=24⋅34⋅54, 30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4, un divisor elige independientemente cada uno de los tres exponentes entre 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, 4.4. Hay 53=1255^3=125 divisores. Al excluir 11 y 30430^4, quedan 125−2=123.125-2=123.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Because 304=24⋅34⋅54, 30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4, a divisor independently chooses each of three exponents from 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, 4.4. There are 53=1255^3=125 divisors. Excluding 11 and 30430^4 leaves 125−2=123.125-2=123.
Therefore, the correct answer is C.

27.

Si f(x)=3x+2f(x)=3x+2 para todo número real x,x, entonces la afirmación:
«∣f(x)+4∣<a|f(x)+4|\lt a siempre que ∣x+2∣<b|x+2|\lt b, a>0a\gt0 y b>0b\gt0»
es verdadera cuando
If f(x)=3x+2f(x)=3x+2 for all real x,x, then the statement:
“∣f(x)+4∣<a|f(x)+4|\lt a whenever ∣x+2∣<b|x+2|\lt b and a>0a\gt0 and b>0b\gt0”
is true when
b≤a3b\le \frac{a}{3}
b>a3b\gt \frac{a}{3}
a≤b3a\le \frac{b}{3}
a>b3a\gt \frac{b}{3}
La afirmación nunca es verdadera.
The statement is never true.
Respuesta: A
Conceptos:valor absolutofuncióndesigualdad
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Factoriza f(x)+4f(x)+4 en términos de x+2x+2
Factor f(x)+4f(x)+4 in terms of x+2x+2
Pista grande:
La condición se convierte en 3∣x+2∣<a3|x+2|\lt a siempre que ∣x+2∣<b|x+2|\lt b
The condition becomes 3∣x+2∣<a3|x+2|\lt a whenever ∣x+2∣<b|x+2|\lt b
Solución:
Tenemos ∣f(x)+4∣=∣3x+6∣=3∣x+2∣. |f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|. Si ∣x+2∣<b|x+2|\lt b y b≤a3,b\le \frac{a}{3}, entonces 3∣x+2∣<3b≤a,3|x+2|\lt3b\le a, como se requiere. Si b>a3,b\gt \frac{a}{3}, se puede elegir ∣x+2∣|x+2| estrictamente entre a3\frac{a}{3} y b,b, de modo que la afirmación falla. Por tanto, la condición exacta es b≤a3.b\le \frac{a}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
We have ∣f(x)+4∣=∣3x+6∣=3∣x+2∣. |f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|. If ∣x+2∣<b|x+2|\lt b and b≤a3,b\le \frac{a}{3}, then 3∣x+2∣<3b≤a,3|x+2|\lt3b\le a, as required. If b>a3,b\gt \frac{a}{3}, one can choose ∣x+2∣|x+2| strictly between a3\frac{a}{3} and b,b, so the statement fails. Thus the exact condition is b≤a3.b\le \frac{a}{3}.
Therefore, the correct answer is A.

28.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se cumple para todos los números xx de la forma x=a13+a232+⋯+a25325, x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}}, donde a1a_1 es 00 o 2,2, a2a_2 es 00 o 2,2, …,\ldots, y a25a_{25} es 00 o 22?
Which of the following is satisfied by all numbers xx of the form x=a13+a232+⋯+a25325, x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}}, where a1a_1 is 00 or 2,2, a2a_2 is 00 or 2,2, …,\ldots, a25a_{25} is 00 or 2?2?
0≤x<130\le x\lt\frac{1}{3}
13≤x<23\frac{1}{3}\le x\lt\frac{2}{3}
23≤x<1\frac{2}{3}\le x\lt1
0≤x<130\le x\lt\frac{1}{3} o 23≤x<1\frac{2}{3}\le x\lt1
0≤x<130\le x\lt\frac{1}{3} or 23≤x<1\frac{2}{3}\le x\lt1
12≤x≤34\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{4}
Respuesta: D
Conceptos:base numéricasucesión geométricaacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2090
Pista pequeña:
Separa los casos a1=0a_1=0 y a1=2a_1=2
Separate the cases a1=0a_1=0 and a1=2a_1=2
Pista grande:
Acota los términos restantes mediante la cola geométrica infinita ∑n=2∞23n\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}
Bound the remaining terms by the infinite geometric tail ∑n=2∞23n\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}
Solución:
Si a1=0,a_1=0, entonces 0≤x≤∑n=22523n<∑n=2∞23n=13. 0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13. Si a1=2,a_1=2, entonces x≥23,x\ge\frac{2}{3}, mientras que x≤∑n=12523n<∑n=1∞23n=1. x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1. Por consiguiente, todo xx de esta forma se encuentra en uno de los dos tercios exteriores indicados.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
If a1=0,a_1=0, then 0≤x≤∑n=22523n<∑n=2∞23n=13. 0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13. If a1=2,a_1=2, then x≥23,x\ge\frac{2}{3}, while x≤∑n=12523n<∑n=1∞23n=1. x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1. Hence every such xx lies in one of the two stated outer thirds.
Therefore, the correct answer is D.

29.

Para p=1,p=1, 2,2, …,\ldots, 1010, sea SpS_p la suma de los primeros 4040 términos de la progresión aritmética cuyo primer término es pp y cuya diferencia común es 2p−1;2p-1; entonces S1+S2+⋯+S10S_1+S_2+\cdots+S_{10} es
For p=1,p=1, 2,2, …,\ldots, 1010 let SpS_p be the sum of the first 4040 terms of the arithmetic progression whose first term is pp and whose common difference is 2p−1;2p-1; then S1+S2+⋯+S10S_1+S_2+\cdots+S_{10} is
80,00080{,}000
80,20080{,}200
80,40080{,}400
80,60080{,}600
80,80080{,}800
Respuesta: B
Conceptos:sucesión aritméticasumatoria
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Usa la fórmula de una serie aritmética de 4040 términos para un pp fijo
Use the 4040-term arithmetic-series formula for a fixed pp
Pista grande:
Simplifica Sp=20(2p+39(2p−1))S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr) antes de sumar sobre pp
Simplify Sp=20(2p+39(2p−1))S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr) before summing over pp
Solución:
Para cada p,p, Sp=402(2p+39(2p−1))=1600p−780. \begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned} Como 1+2+⋯+10=55,1+2+\cdots+10=55, se tiene ∑p=110Sp=1600(55)−7800=80,200. \begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
For each p,p, Sp=402(2p+39(2p−1))=1600p−780. \begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned} Since 1+2+⋯+10=55,1+2+\cdots+10=55, therefore ∑p=110Sp=1600(55)−7800=80,200. \begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is B.

30.

Un segmento se divide de modo que la parte menor es a la parte mayor como la parte mayor es al segmento completo. Si RR es la razón entre la parte menor y la mayor, entonces el valor de R[R(R2+R−1)+R−1]+R−1 R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1} es
A line segment is divided so that the lesser part is to the greater part as the greater part is to the whole. If RR is the ratio of the lesser part to the greater part, then the value of R[R(R2+R−1)+R−1]+R−1 R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1} is
22
2R2R
R−1R^{-1}
2+R−12+R^{-1}
2+R2+R
Respuesta: A
Conceptos:cuadráticaexponentesustitución
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:
Traduce la condición de división como R=11+RR=\frac{1}{1+R}
Translate the division condition into R=11+RR=\frac{1}{1+R}
Pista grande:
A partir de R2+R=1,R^2+R=1, deduce R−1=R+1R^{-1}=R+1 y simplifica desde el exponente más interior hacia afuera
From R2+R=1,R^2+R=1, derive R−1=R+1R^{-1}=R+1 and simplify from the innermost exponent outward
Solución:
Escala la parte mayor a 1,1, de modo que la menor sea R.R. La condición da R=11+R,R=\frac{1}{1+R}, por lo que R2+R=1,R−1=R+1. R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1. En consecuencia, R2+R−1=R2+R+1=2. R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2. Al avanzar hacia afuera, el exponente del RR exterior se convierte en R R2+R−1+R−1=R2+R−1=2. \begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned} Por lo tanto, la expresión completa es R2+R−1=2.R^2+R^{-1}=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Scale the greater part to 1,1, making the lesser part R.R. The condition gives R=11+R,R=\frac{1}{1+R}, so R2+R=1,R−1=R+1. R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1. Consequently R2+R−1=R2+R+1=2. R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2. Working outward, the exponent of the outer RR becomes R R2+R−1+R−1=R2+R−1=2. \begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned} The whole expression is therefore R2+R−1=2.R^2+R^{-1}=2.
Therefore, the correct answer is A.
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