1963 AMC 12 Problema 20

Question

Dos hombres situados en los puntos

R

y

S,

separados por

76

millas, parten al mismo tiempo caminando uno hacia el otro. El hombre en

R

camina uniformemente a

4\dfrac12

millas por hora; el hombre en

S

camina a

3\dfrac14

millas por hora durante la primera hora, a

3\dfrac34

millas por hora durante la segunda, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si se encuentran después de un número entero de horas en un punto que está

x

millas más cerca de

R

que de

S

, entonces

x

es:

Two men at points

R

and

S,

76

miles apart, set out at the same time to walk towards each other. The man at

R

walks uniformly at

4\dfrac12

miles per hour; the man at

S

walks at

3\dfrac14

miles per hour for the first hour, at

3\dfrac34

miles per hour for the second hour, and so on, in arithmetic progression. If the men meet

x

miles nearer

R

than

S

in an integral number of hours, then

x

is:

10

8

6

4

2

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Sea

h

el número entero de horas hasta el encuentro y suma las distancias horarias del segundo hombre

Let the integral meeting time be

h

hours and sum the second man’s hourly distances

Pista grande:

La ecuación de la distancia combinada se simplifica a

h^2+30h-304=0

Their combined distance equation simplifies to

h^2+30h-304=0

Solución:

En

h

horas, el primer hombre camina

\frac{9h}{2}.

El segundo recorre la suma de la progresión aritmética

\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned}

Sus distancias suman

76,

lo que da

h^2+30h-304=0,

cuya raíz positiva es

h=8.

Recorren

36

y

40

millas, de modo que el punto de encuentro está

4

millas más cerca de

R

que de

S.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In

h

hours the first man walks

\frac{9h}{2}.

The second walks an arithmetic-series total

\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned}

Their distances sum to

76,

giving

h^2+30h-304=0,

whose positive root is

h=8.

They walk

36

and

40

miles, so the meeting point is

4