1970 AMC 12 Problema 20

Question

Las rectas

HK

y

BC

están en un mismo plano.

M

es el punto medio del segmento

BC,

y

BH

y

CK

son perpendiculares a

HK.

Entonces:

Lines

HK

and

BC

lie in a plane.

M

is the midpoint of line segment

BC,

and

BH

and

CK

are perpendicular to

HK.

Then we:

siempre se cumple

MH=MK

always have

MH=MK

siempre se cumple

MH\gt BK

always have

MH\gt BK

a veces se cumple

MH=MK

, pero no siempre

sometimes have

MH=MK

but not always

siempre se cumple

MH\gt MB

always have

MH\gt MB

siempre se cumple

BH\lt BC

always have

BH\lt BC

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica punto medio mediatriz

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Coloca

HK

sobre el eje

x

Put

HK

on the

x

-axis

Pista grande:

Usa

H=(h,0),

B=(h,u),

K=(k,0)

y

C=(k,v)

; compara los cuadrados de las distancias desde su punto medio

Use

H=(h,0),

B=(h,u),

K=(k,0),

and

C=(k,v)

; compare squared distances from their midpoint

Solución:

Elige las coordenadas

\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}

Entonces

M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).

Los desplazamientos horizontales de

M

a

H

y

K

son opuestos, mientras que los desplazamientos verticales son iguales. Por lo tanto,

MH^2=MK^2,

de modo que siempre

MH=MK

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Choose coordinates

\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}

Then

M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).

The horizontal displacements from

M

to

H

and

K

are opposites, while the vertical displacements are equal. Therefore

MH^2=MK^2,

so

MH=MK

always.

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años