1980 AMC 12 Problema 20

Question

Una caja contiene

2

monedas de un centavo,

4

monedas de cinco centavos y

6

monedas de diez centavos. Se extraen seis monedas sin reemplazo, y cada moneda tiene la misma probabilidad de ser elegida. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de las monedas extraídas sea al menos

50

centavos?

A box contains

2

pennies,

4

nickels and

6

dimes. Six coins are drawn without replacement, with each coin having an equal probability of being chosen. What is the probability that the value of the coins drawn is at least

50

cents?

\frac{37}{924}

\frac{91}{924}

\frac{127}{924}

\frac{132}{924}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones muestreo sin reemplazo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Hay

\binom{12}{6}

conjuntos de seis monedas igualmente probables

There are

\binom{12}{6}

equally likely sets of six coins

Pista grande:

Clasifica las selecciones favorables según contengan seis, cinco o cuatro monedas de diez centavos

Classify favorable selections by whether they contain six, five, or four dimes

Solución:

Hay

\binom{12}{6}=924

selecciones. Se obtiene un valor de al menos

50

centavos con seis monedas de diez centavos; con cinco de diez centavos y cualquier otra moneda; o con cuatro de diez centavos y dos de cinco centavos. El número de selecciones favorables es

\begin{aligned} &\binom66\\ &\quad+\binom65\binom61\\ &\quad+\binom64\binom42\\ &=1+36+90\\ &=127. \end{aligned}

Por lo tanto, la probabilidad es

\frac{127}{924}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are

\binom{12}{6}=924

selections. A value of at least

50

cents occurs with six dimes; with five dimes and any one other coin; or with four dimes and two nickels. The favorable count is

\begin{aligned} &\binom66\\ &\quad+\binom65\binom61\\ &\quad+\binom64\binom42\\ &=1+36+90\\ &=127. \end{aligned}

Thus the probability is

\frac{127}{924}.

Therefore, the correct answer is C.