1979 AMC 12 Problema 12

Question

En la figura adjunta,

CD

es el diámetro de un semicírculo con centro

O.

El punto

A

está en la prolongación de

DC

más allá de

C;

el punto

E

está en el semicírculo, y

B

es el punto de intersección (distinto de

E

) del segmento

AE

con el semicírculo. Si la longitud

AB

es igual a la longitud

OD,

y la medida de

\angle EOD

es

45^\circ,

entonces la medida de

\angle BAO

es

In the adjoining figure,

CD

is the diameter of a semicircle with center

O.

Point

A

lies on the extension of

DC

past

C;

point

E

lies on the semicircle, and

B

is the point of intersection (distinct from

E

) of line segment

AE

with the semicircle. If length

AB

equals length

OD,

and the measure of

\angle EOD

is

45^\circ,

then the measure of

\angle BAO

is

10^\circ

15^\circ

20^\circ

25^\circ

30^\circ

Respuesta: B

Conceptos:círculo triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea

y=\angle BAO

y usa

AB=OB=OE

Let

y=\angle BAO

and use

AB=OB=OE

Pista grande:

Expresa

\angle BOE

de dos maneras usando los triángulos isósceles y el ángulo central de

45^\circ

Express

\angle BOE

in two ways using the isosceles triangles and the

45^\circ

central angle

Solución:

Sea

y=\angle BAO.

Como

AB=OB,

se tiene

\angle AOB=y,

y por ello

\angle EBO=2y.

Además,

OB=OE,

así que

\angle BEO=2y

y

\angle BOE=180^\circ-4y.

Por otra parte,

\angle BOD=180^\circ-y,

de modo que

\angle BOE=135^\circ-y.

Por tanto,

180^\circ-4y=135^\circ-y,

lo que da

y=15^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

y=\angle BAO.

Since

AB=OB,

\angle AOB=y,

so

\angle EBO=2y.

Also

OB=OE,

hence

\angle BEO=2y

and

\angle BOE=180^\circ-4y.

On the other hand,

\angle BOD=180^\circ-y,

so

\angle BOE=135^\circ-y.

Therefore

180^\circ-4y=135^\circ-y,

giving

y=15^\circ.

Therefore, the correct answer is B.