1979 AMC 12 Problema 13

Question

La desigualdad

y-x\lt\sqrt{x^2}

se satisface si y solo si

The inequality

y-x\lt\sqrt{x^2}

is satisfied if and only if

y\lt0

o

y\lt2x

(o se cumplen ambas desigualdades)

y\lt0

or

y\lt2x

(or both inequalities hold)

y\gt0

o

y\lt2x

(o se cumplen ambas desigualdades)

y\gt0

or

y\lt2x

(or both inequalities hold)

y^2\lt2xy

y\lt0

x\gt0

y

y\lt2x

x\gt0

and

y\lt2x

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto desigualdad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sustituye

\sqrt{x^2}

por

|x|

Replace

\sqrt{x^2}

by

|x|

Pista grande:

Separa los casos

x\ge0

y

x\lt0

, y luego combina las regiones obtenidas

Separate the cases

x\ge0

and

x\lt0

, then combine the resulting regions

Solución:

Si

x\ge0,

la desigualdad se convierte en

y-x\lt x,

o bien

y\lt2x.

Si

x\lt0,

se convierte en

y-x\lt-x,

o bien

y\lt0.

Al combinar los dos casos se obtiene exactamente

y\lt0

o

y\lt2x,

permitiendo que ambos se cumplan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If

x\ge0,

the inequality becomes

y-x\lt x,

or

y\lt2x.

If

x\lt0,

it becomes

y-x\lt-x,

or

y\lt0.

Combining the two cases gives exactly

y\lt0

or

y\lt2x,

with overlap allowed.

Therefore, the correct answer is A.