1979 AMC 12 Problema 14

Question

En cierta sucesión de números, el primer número es

1,

y, para todo

n\ge2,

el producto de los primeros

n

números de la sucesión es

n^2.

La suma del tercer y el quinto número de la sucesión es

In a certain sequence of numbers, the first number is

1,

and, for all

n\ge2,

the product of the first

n

numbers in the sequence is

n^2.

The sum of the third and the fifth numbers in the sequence is

\frac{25}{9}

\frac{31}{15}

\frac{61}{16}

\frac{576}{225}

34

Divide el producto de los primeros

n

términos entre el producto de los primeros

n-1

términos

Divide the product of the first

n

terms by the product of the first

n-1

terms

Esto da directamente el término

n

-ésimo como un cociente de dos cuadrados

This gives the

n

th term directly as a ratio of two squares

Para

n\ge2,

el término

n

-ésimo es

a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}.

Por lo tanto,

a_3=\frac{9}{4}

y

a_5=\frac{25}{16},

cuya suma es

\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For

n\ge2,

the

n

th term is

a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}.

Therefore

a_3=\frac{9}{4}

and

a_5=\frac{25}{16},

whose sum is

\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}.

Therefore, the correct answer is C.

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