1981 AMC 12 Problema 12

Question

Si

p,

q,

y

M

son números positivos y

q\lt100,

entonces el número que se obtiene al aumentar

M

en

p\%

y disminuir el resultado en

q\%

excede a

M

si y solo si

If

p,

q,

and

M

are positive numbers and

q\lt100,

then the number obtained by increasing

M

by

p\%

and decreasing the result by

q\%

exceeds

M

if and only if

p\gt q

p\gt\frac q{100-q}

p\gt\frac q{1-q}

p\gt\frac{100q}{100+q}

p\gt\frac{100q}{100-q}

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe los dos cambios porcentuales sucesivos como factores multiplicativos

Write the two successive percentage changes as multiplication factors

Pista grande:

Usa

q\lt100

al dividir por

100-q

Use

q\lt100

when dividing by

100-q

Solución:

La cantidad final es

M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).

Excede a

M

exactamente cuando

(100+p)(100-q)\gt10000.

Al desarrollar se obtiene

p(100-q)\gt100q.

Como

100-q\gt0,

esto equivale a

p\gt\frac{100q}{100-q}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The final amount is

M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).

It exceeds

M

exactly when

(100+p)(100-q)\gt10000.

Expanding gives

p(100-q)\gt100q.

Since

100-q\gt0,

this is

p\gt\frac{100q}{100-q}.

Therefore, the correct answer is E.