1982 AMC 12 Problema 10

Question

En el diagrama adjunto,

BO

biseca

\angle CBA,

CO

biseca

\angle ACB,

y

MN

es paralela a

BC.

Si

AB=12,

BC=24,

y

AC=18,

entonces el perímetro de

\triangle AMN

es

In the adjoining diagram,

BO

bisects

\angle CBA,

CO

bisects

\angle ACB,

and

MN

is parallel to

BC.

If

AB=12,

BC=24,

and

AC=18,

then the perimeter of

\triangle AMN

is

30

33

36

39

42

Respuesta: A

Conceptos:semejanza circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón perímetro

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como

O

es el incentro, su distancia a

BC

es el inradio

Because

O

is the incenter, its distance from

BC

is the inradius

Pista grande:

Compara la altura de

\triangle AMN

con la altura de

\triangle ABC

Compare the altitude of

\triangle AMN

with the altitude of

\triangle ABC

Solución:

Los lados

12,

18,

24

tienen semiperímetro

27

y área

\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},

así que el inradio es

r=\sqrt{15}.

Tomando

BC

como base, la altura es

h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.

Por tanto, la razón de semejanza de

\triangle ABC

a

\triangle AMN

es

1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.

Su perímetro es

(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sides

12,

18,

24

have semiperimeter

27

and area

\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},

so the inradius is

r=\sqrt{15}.

Taking

BC

as base, the altitude is

h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.

Thus the similarity scale from

\triangle ABC

to

\triangle AMN

is

1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.

Its perimeter is

(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.

Therefore, the correct answer is A.