1985 AMC 12 Problema 27

Question

Considera una sucesión

x_1,

x_2,

x_3,

\ldots,

definida por

\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}

y, en general,

x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}

para

n\gt1.

¿Cuál es el menor valor de

n

para el que

x_n

es un entero?

Consider a sequence

x_1,

x_2,

x_3,

\ldots,

defined by

\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}

and in general

x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}

for

n\gt1.

What is the smallest value of

n

for which

x_n

is an integer?

2

3

4

9

27

Respuesta: C

Conceptos:exponente desigualdad radical recursión

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Sea

c=\sqrt[3]{3}

y sigue el exponente de

3

Let

c=\sqrt[3]{3}

and track the exponent of

3

Pista grande:

Demuestra que

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}

y examina los primeros cuatro términos

Show that

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}

and examine the first four terms

Solución:

Sea

c=\sqrt[3]{3}.

Al aplicar repetidamente la recurrencia se obtiene

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}},

de modo que

x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3.

Falta descartar los tres primeros términos. La sucesión es estrictamente creciente. Además,

c\lt\frac{3}{2},

así que

x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2.

Finalmente,

x_3=3^{\frac{1}{c}}.

Como

2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3,

tenemos

x_3\gt2,

mientras que

\frac{1}{c}\lt1

da

x_3\lt3.

Por tanto,

x_1,x_2,x_3

no son enteros, y el primer término entero es

x_4.

La respuesta correcta es C.

Let

c=\sqrt[3]{3}.

Repeated application of the recurrence gives

x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}},

so

x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3.

It remains to rule out the first three terms. The sequence is strictly increasing. Also

c\lt\frac{3}{2},

so

x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2.

Finally

x_3=3^{\frac{1}{c}}.

Since

2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3,

we have

x_3\gt2,

while

\frac{1}{c}\lt1

gives

x_3\lt3.

Thus

x_1,x_2,x_3

are not integers, and the first integral term is

x_4.

Therefore the correct answer is C.