1991 AMC 12 Problema 17

Question

Un entero positivo

N

es un palíndromo si el entero obtenido al invertir la sucesión de cifras de

N

es igual a

N.

El año

1991

es el único del siglo actual que tiene las dos propiedades siguientes:

(a) Es un palíndromo.

(b) Se factoriza como el producto de un palíndromo primo de

2

cifras y un palíndromo primo de

3

cifras.

¿Cuántos años del milenio entre

1000

y

2000

, incluido

1991

, tienen las propiedades (a) y (b)?

A positive integer

N

is a palindrome if the integer obtained by reversing the sequence of digits of

N

is equal to

N.

The year

1991

is the only year in the current century with the following two properties:

(a) It is a palindrome.

(b) It factors as a product of a

2

-digit prime palindrome and a

3

-digit prime palindrome.

How many years in the millennium between

1000

and

2000

(including the year

1991

) have properties (a) and (b)?

1

2

3

4

5

Respuesta: D

Conceptos:palíndromo factorización en primos divisibilidad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Todo palíndromo de cuatro cifras entre

1000

y

2000

tiene la forma

1dd1

Every four-digit palindrome from

1000

to

2000

has the form

1dd1

Pista grande:

Factoriza

1dd1

como

11(91+10d)

y prueba cuándo el factor de tres cifras es primo

Factor

1dd1

as

11(91+10d)

and test when the three-digit factor is prime

Solución:

Los palíndromos del intervalo son

1dd1,

donde

d

es una cifra. Algebraicamente,

\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}

Por lo tanto, el palíndromo primo de dos cifras debe ser

11,

y

91+10d

debe ser un palíndromo primo de tres cifras. Para

d=0,1,\ldots,9,

los valores primos ocurren cuando

d=1,4,6,9,

y dan

101,131,151,181.

Por consiguiente, hay

4

años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The palindromes in the interval are

1dd1,

where

d

is a digit. Algebraically,

\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}

The two-digit prime palindrome must therefore be

11,

and

91+10d

must be a three-digit prime palindrome. For

d=0,1,\ldots,9,

the prime values occur for

d=1,4,6,9,

giving

101,131,151,181.

Thus there are

4

years.

Thus the correct answer is D.