1950 AMC 12 第 24 题

Question

方程

x+\sqrt{x-2}=4

有：

The equation

x+\sqrt{x-2}=4

has:

2

个实根

2

real roots

1

个实根和

1

个虚根

1

real and

1

imaginary root

2

个虚根

2

imaginary roots

没有根

No roots

1

个实根

1

real root

答案：E

知识点：根式二次方程换元法

难度评级：1470

小提示：

平方前先将根式单独置于一边

Isolate the square root before squaring

大提示：

将所得二次方程的每个根代回原方程检验

Check every root of the resulting quadratic in the original equation

解答：

将根式单独置于一边并平方，得到

\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0 \end{aligned}\text{。}

所得二次方程的根为

3

和

6

。其中

3

满足原方程，但将后者代回原方程得

6+\sqrt4=8

，所以

6

是增根。

因此，正确答案是 E。

Isolating and squaring gives

\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}

The quadratic roots are

3

and

6.

The value

3

satisfies the original equation, but

6

gives

6+\sqrt4=8,

so it is extraneous.

Thus, the correct answer is E.

1950 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

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