1956 AMC 12 第 25 题

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25.

当

k

取从

1

到

n

的整数值时，所有形如

2k+1

的数之和为：

The sum of all numbers of the form

2k+1,

where

k

takes on integral values from

1

n

is:

n^2

n(n+1)

n(n+2)

(n+1)^2

(n+1)(n+2)

将

\sum_{k=1}^n(2k+1)

拆成两个和

Separate

\sum_{k=1}^n(2k+1)

into two sums

使用

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

Use

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

计算得

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2k+1) &=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\\ &=n(n+1)+n\\ &=n(n+2) \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

We compute

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2k+1) &=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\\ &=n(n+1)+n\\ &=n(n+2). \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

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