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1958 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1958 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1958 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Si

xy=b

y

\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,

entonces

(x+y)^2

es igual a:

If

xy=b

and

\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,

then

(x+y)^2

equals:

(a+2b)^2

a^2+b^2

b(ab+2)

ab(b+2)

\dfrac1a+2b

Respuesta: C

Conceptos:ecuación racional simetría (álgebra)manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Combina

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}

con denominador común

x^2y^2

Combine

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}

using the common denominator

x^2y^2

Pista grande:

Usa

xy=b

para hallar

x^2+y^2

y luego suma

2xy

Use

xy=b

to find

x^2+y^2

, then add

2xy

Solución:

Como

xy=b,

a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},

de modo que

x^2+y^2=ab^2.

Por lo tanto,

\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

xy=b,

a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},

so

x^2+y^2=ab^2.

Therefore

\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.