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1958 AMC 12 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

表达式

2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}

等于：

The expression

2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}

equals:

2

2-\sqrt2

2+\sqrt2

2\sqrt2

\dfrac{\sqrt2}{2}

答案：A

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：1450

小提示：

先将两个倒数项的分母有理化，再相加

Rationalize the two reciprocal terms before adding them

大提示：

两个倒数化简后，其和为

-\sqrt2

The two reciprocals simplify to quantities whose sum is

-\sqrt2

解答：

分母有理化后得到

\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}\text{。}

两者之和为

-\sqrt2

。因此整个表达式为

2+\sqrt2-\sqrt2=2\text{。}

所以正确答案为 A。

Rationalizing gives

\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}

Their sum is

-\sqrt2.

Therefore the whole expression is

2+\sqrt2-\sqrt2=2.

Thus, the correct answer is A.

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