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1986 AMC 12 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

化简

\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt{6\frac34}\right)^2

。

Simplify

\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt{6\frac34}\right)^2.

\frac34

\frac{\sqrt3}{2}

\frac{3\sqrt3}{4}

\frac32

\frac{3\sqrt3}{2}

答案：A

知识点：radical simplification 指数 mixed number

难度评级：1420

小提示：

将

27

写成

3

的幂，并将

6\frac34

化为假分数

Rewrite

27

as a power of

3

and

6\frac34

as an improper fraction

大提示：

先化简两个根式，再将它们的差平方

Simplify both radicals before squaring their difference

解答：

有

\sqrt[6]{27}=(3^3)^{\frac{1}{6}}=\sqrt3

，且

\sqrt{6\frac34}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt3}{2}\text{。}

因此，原式为

\begin{aligned} \left(\sqrt3-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2 &=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac34\text{。} \end{aligned}

所以正确答案是 A。

We have

\sqrt[6]{27}=(3^3)^{\frac{1}{6}}=\sqrt3

and

\sqrt{6\frac34}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt3}{2}.

Hence the expression is

\begin{aligned} \left(\sqrt3-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2 &=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac34. \end{aligned}

Thus the correct answer is A.

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