1960 AMC 12 第 24 题

Question

若

\log_{2x}216=x

，其中

x

为实数，则

x

是：

If

\log_{2x}216=x,

where

x

is real, then

x

is:

既不是完全平方数也不是完全立方数的整数

a non-square, non-cube integer

既不是完全平方数也不是完全立方数的非整数有理数

a non-square, non-cube, non-integral rational number

无理数

an irrational number

完全平方数

a perfect square

完全立方数

a perfect cube

答案：A

知识点：对数指数函数

难度评级：1280

小提示：

将对数方程化为

(2x)^x=216

Convert the logarithmic equation to

(2x)^x=216

大提示：

利用

216=6^3

看出一个实数解

Use

216=6^3

to recognize a real solution

解答：

该方程等价于

(2x)^x=216\text{。}

由于

216=6^3

，

x=3

满足方程。为说明它是唯一允许的实数解，注意对数的底要求

x>0

且

2x\ne1

；当

0\lt x\lt\frac{1}{2}

时，

x\ln(2x)\lt0

；而当

x>\frac{1}{2}

时，函数

x\ln(2x)

严格递增。因此

x=3

是一个既非完全平方数又非完全立方数的整数。

因此，正确答案是 A。

The equation is equivalent to

(2x)^x=216.

Since

216=6^3,

x=3

satisfies the equation. To see it is the only admissible real solution, note that the base requires

x>0

and

2x\ne1;

on

0\lt x\lt\frac{1}{2},

x\ln(2x)\lt0,

while for

x>\frac{1}{2}

the function

x\ln(2x)

is strictly increasing. Thus

x=3,

a non-square, non-cube integer.

Therefore, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 24 题

答案：A

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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