1960 AMC 12 Problema 24

Question

Si

\log_{2x}216=x,

donde

x

es real, entonces

x

es:

If

\log_{2x}216=x,

where

x

is real, then

x

is:

un entero que no es cuadrado ni cubo perfecto

a non-square, non-cube integer

un racional no entero que no es cuadrado ni cubo perfecto

a non-square, non-cube, non-integral rational number

un número irracional

an irrational number

un cuadrado perfecto

a perfect square

un cubo perfecto

a perfect cube

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo exponente función

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Convierte la ecuación logarítmica en

(2x)^x=216

Convert the logarithmic equation to

(2x)^x=216

Pista grande:

Usa

216=6^3

para reconocer una solución real

Use

216=6^3

to recognize a real solution

Solución:

La ecuación equivale a

(2x)^x=216.

Como

216=6^3,

x=3

satisface la ecuación. Para ver que es la única solución real admisible, observa que la base exige

x>0

y

2x\ne1;

en

0\lt x\lt\frac{1}{2},

se tiene

x\ln(2x)\lt0,

mientras que para

x>\frac{1}{2}

la función

x\ln(2x)

es estrictamente creciente. Así,

x=3,

un entero que no es cuadrado ni cubo perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to

(2x)^x=216.

Since

216=6^3,

x=3

satisfies the equation. To see it is the only admissible real solution, note that the base requires

x>0

and

2x\ne1;

on

0\lt x\lt\frac{1}{2},

x\ln(2x)\lt0,

while for

x>\frac{1}{2}

the function

x\ln(2x)

is strictly increasing. Thus

x=3,

a non-square, non-cube integer.

Therefore, the correct answer is A.