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1961 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

三角形

ABC

的中线

AD

和

CE

交于

M

。

AE

的中点为

N

。若三角形

MNE

的面积是三角形

ABC

面积的

k

倍，则

k

等于：

Medians

AD

and

CE

of triangle

ABC

intersect in

M.

The midpoint of

AE

is

N.

Let the area of triangle

MNE

be

k

times the area of triangle

ABC.

Then

k

equals:

\dfrac16

\dfrac18

\dfrac19

\dfrac1{12}

\dfrac1{16}

答案：D

知识点：中线（几何）重心面积比行列式

难度评级：1300

小提示：

以

A

为原点使用坐标或向量

Use coordinates or vectors with

A

as the origin

大提示：

点

E

、

N

和

M

在两条中线方向上对应简单的分数位置

Points

E,

N,

and

M

divide the same two median directions by simple fractions

解答：

令

A=\mathbf0

、

B=\mathbf b

、

C=\mathbf c

。则

\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3} \end{aligned}\text{。}

计算行列式得

[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|\text{，}

而

[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|\text{。}

两者之比为

\frac{1}{12}

。

所以，正确答案是 D。

Set

A=\mathbf0,

B=\mathbf b,

and

C=\mathbf c.

Then

\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}

A determinant calculation gives

[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,

while

[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.

Their ratio is

\frac{1}{12}.

Thus, the correct answer is D.

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