1961 AMC 12 Problema 21

Question

Las medianas

AD

y

CE

del triángulo

ABC

se cortan en

M.

El punto medio de

AE

es

N.

Si el área de

MNE

es

k

veces la de

ABC,

entonces

k

es:

Medians

AD

and

CE

of triangle

ABC

intersect in

M.

The midpoint of

AE

is

N.

Let the area of triangle

MNE

be

k

times the area of triangle

ABC.

Then

k

equals:

\dfrac16

\dfrac18

\dfrac19

\dfrac1{12}

\dfrac1{16}

Respuesta: D

Conceptos:mediana (geometría)baricentro razón de áreas determinante

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Usa coordenadas o vectores con

A

como origen

Use coordinates or vectors with

A

as the origin

Pista grande:

Los puntos

E,

N,

y

M

dividen las mismas dos direcciones de las medianas en fracciones sencillas

Points

E,

N,

and

M

divide the same two median directions by simple fractions

Solución:

Sean

A=\mathbf0,

B=\mathbf b,

y

C=\mathbf c.

Entonces

\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}

Un cálculo de determinantes da

[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,

mientras que

[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.

Su razón es

\frac{1}{12}.

Así, la respuesta correcta es D.

Set

A=\mathbf0,

B=\mathbf b,

and

C=\mathbf c.

Then

\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}

A determinant calculation gives

[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,

while

[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.

Their ratio is

\frac{1}{12}.

Thus, the correct answer is D.