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1962 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

设三角形

ABC

在

B

和

C

处的外角平分线交于

D

。若所有角度均以度为单位，则角

BDC

等于：

Let the bisectors of the exterior angles at

B

and

C

of triangle

ABC

meet at

D.

Then, if all measurements are in degrees, angle

BDC

equals:

\dfrac12(90-A)

90-A

\dfrac12(180-A)

180-A

180-2A

答案：C

知识点：角平分线角度和导角

难度评级：1300

小提示：

每条外角平分线与相应边所成的角为

90^\circ-\frac{B}{2}

或

90^\circ-\frac{C}{2}

Each exterior-angle bisector makes an angle

90^\circ-\frac{B}{2}

or

90^\circ-\frac{C}{2}

with a side

大提示：

对三角形

BDC

使用内角和，并利用

B+C=180^\circ-A

Apply the angle sum in triangle

BDC

and use

B+C=180^\circ-A

解答：

三角形

BDC

在

B

和

C

处的角分别为

90^\circ-\frac{B}{2}

和

90^\circ-\frac{C}{2}

。因此

\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

The angles of triangle

BDC

at

B

and

C

are

90^\circ-\frac{B}{2}

and

90^\circ-\frac{C}{2}.

Thus

\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

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