1963 AMC 12 第 13 题

Question

若

2^a+2^b=3^c+3^d

，则整数

a

、

b

、

c

、

d

中最多有几个可以是负数？

If

2^a+2^b=3^c+3^d,

the number of integers

a,

b,

c,

d

which can possibly be negative is, at most:

4

3

2

1

0

答案：E

知识点：指数整除性奇偶性

难度评级：2160

小提示：

约分后，左边的分母只能含因数

2

，右边的分母只能含因数

3

A reduced denominator on the left can contain only

2,

while one on the right can contain only

3

大提示：

先推出两边都是整数，再考察两个负指数幂之和何时可能是整数

Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral

解答：

化为最简分数后，左边的分母只能是

2

的幂，右边的分母只能是

3

的幂。两边相等就迫使两边都是整数。若

c

或

d

为负数，

3^c+3^d

的分母中仍会含因数

3

。因此

c,d\geq0

。

同理，

a

或

b

为负数时，和为整数的唯一特殊情形是

a=b=-1

，此时和为

1

。但

3^c+3^d\geq2

。所以也有

a,b\geq0

，没有一个可以是负数。

所以正确答案是 E。

In lowest terms, the left side can have only a power of

2

in its denominator, while the right side can have only a power of

3.

Equality therefore forces both sides to be integers. If either

c

or

d

were negative,

3^c+3^d

would retain a factor

3

in its denominator. Thus

c,d\geq0.

Likewise, negative

a

or

b

can give an integer only in the exceptional case

a=b=-1,

whose sum is

1.

But

3^c+3^d\geq2.

Hence

a,b\geq0

as well, so none can be negative.

Thus, the correct answer is E.

1963 AMC 12 第 13 题

答案：E

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

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